Συντρέχουσες σε παραλληλόγραμμο

#1

Αν

είναι παραλληλόγραμμο, Z, E, K, H

είναι σημεία των AB, BC, CD, DA

αντίστοιχα με AZ=DK, AH=BE

και $M\equiv AK\cap CH$ , $T\equiv BK\cap DE$ , $N\equiv AE\cap CZ$ , $F\equiv DZ\cap BH$ , να αποδείξετε ότι οι AT, BM, CF, DN

συντρέχουν.

: ΣΥΝΤΡΕΧΟΥΣΕΣ ΣΕ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ.png (60.9 KiB) Προβλήθηκε 738 φορές

#2

Το ωραίο είναι, για πιο σημείο πρόκειται...

Κώστας Βήττας.

#3

AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 14, 2023 12:13 am
Αν είναι παραλληλόγραμμο, είναι σημεία των αντίστοιχα με και $M\equiv AK\cap CH$ , $T\equiv BK\cap DE$ , $N\equiv AE\cap CZ$ , $F\equiv DZ\cap BH$ , να αποδείξετε ότι οι συντρέχουν.

$\bullet$ Έστω το σημείο $S\equiv EH\cap ZK.$

Από $SK\parallel BC$ και $SE\parallel CD,$ σύμφωνα με γνωστό Λήμμα που έχουμε ξαναδεί Εδώ, έχουμε ότι η ευθεία

περνάει από το σημείο

.

: Συντρέχουσες σε παραλληλόγραμμο.; f 185_t 74043.PNG (10.46 KiB) Προβλήθηκε 656 φορές

Ομοίως, αποδεικνύεται ότι και οι ευθείες $BM,\ CF,\ DN$ περνάνε από το σημείο

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Είναι προφανές, σύμφωνα με την γενίκευση του Λήμματος της παραπομπής, ότι το πρόβλημα αληθεύει και για τυχόν τετράπλευρο ABCD,

με τα σημεία $Z\in AB$ και $E\in BC$ και $K\in CD$ και $H\in AD$ , τέτοια ώστε να ισχύουν $AD\cap ZK\cap BC\equiv X$ και $AB\cap EH\cap CD\equiv Y.$

#4

ΛΗΜΜΑ (με διορθώσεις).pdf: (497.78 KiB) Μεταφορτώθηκε 15 φορές

vittasko έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 17, 2023 3:09 pm

AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 14, 2023 12:13 am
Αν είναι παραλληλόγραμμο, είναι σημεία των αντίστοιχα με και $M\equiv AK\cap CH$ , $T\equiv BK\cap DE$ , $N\equiv AE\cap CZ$ , $F\equiv DZ\cap BH$ , να αποδείξετε ότι οι συντρέχουν.
$\bullet$ Έστω το σημείο $S\equiv EH\cap ZK.$

Από $SK\parallel BC$ και $SE\parallel CD,$ σύμφωνα με γνωστό Λήμμα που έχουμε ξαναδεί Εδώ, έχουμε ότι η ευθεία περνάει από το σημείο .
f 185_t 74043.PNG
Ομοίως, αποδεικνύεται ότι και οι ευθείες $BM,\ CF,\ DN$ περνάνε από το σημείο και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Είναι προφανές, σύμφωνα με την γενίκευση του Λήμματος της παραπομπής, ότι το πρόβλημα αληθεύει και για τυχόν τετράπλευρο με τα σημεία $Z\in AB$ και $E\in BC$ και $K\in CD$ και $H\in AD$ , τέτοια ώστε να ισχύουν $AD\cap ZK\cap BC\equiv X$ και $AB\cap EH\cap CD\equiv Y.$

Εξαιρετικά Κώστα! Ήμουν σίγουρος ότι κάτι σχετικό θα είχαμε συζητήσει αλλά δεν το έψαξα. Η δική μου προσέγγιση είναι παραπλήσια με ισοδύναμο λήμμα.
(Έκανα διορθώσεις στο συνημμένο αρχείο)

Συντρέχουσες σε παραλληλόγραμμο

Συντρέχουσες σε παραλληλόγραμμο

Re: Συντρέχουσες σε παραλληλόγραμμο

Re: Συντρέχουσες σε παραλληλόγραμμο

Re: Συντρέχουσες σε παραλληλόγραμμο

Μέλη σε σύνδεση