Ισεμβαδικότητα !

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Ισεμβαδικότητα.png (40.85 KiB) Προβλήθηκε 1323 φορές

Έστω τρίγωνο και ας είναι δύο ισογώνιες ως προς τις πλευρές της γωνίας του ( ) και ας είναι τα σημεία τομής των με τον περίκυκλο του τριγώνου . Να δειχθεί ότι , όπου το συμμετρικό του ως προς την , με

Η πηγή της έμπνευσης μετά τη λύση


Στάθης

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το να δείξουμε ότι η είναι διάμεσος του .

Έστω το μέσο του . Εύκολα προκύπτει ότι το είναι ισοσκελές (απλά συγκρίνουμε τα και ).

Έστω και τα συμμετρικά των ως προς τo .

Αφού , παρατηρούμε πως το τρίγωνα και είναι ορθογώνια και πως τα και είναι τα συμμετρικά των και ως προς την .

Από την τελευταία συμμετρία προκύπτει ότι το συνιστά την τομή των και .

Θέλουμε να δείξουμε πως η διέρχεται από το , δηλαδή ότι οι ευθείες συντρέχουν.

Αρκεί τα τρίγωνα και να είναι προοπτικά.

Ισχύει ότι η τέμνει την στο , ενώ η τέμνει την στο .

Από αρκεί οι ευθείες , , να συντρέχουν, όμως αυτές οι ευθείες είναι παράλληλες, άρα τελειώσαμε (ελπίζω να μην κάνω λάθος εδώ).

Αργότερα θα προσθέσω και το σχήμα!

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

image.jpeg (113.14 KiB) Προβλήθηκε 1136 φορές

Ειναι μια πρόταση του φίλου Kadir Altintas που αναρτηθηκε στους ρομαντικούς της γεωμετρίας

https://m.facebook.com/groups/parmenide ... view=group