Σημεία συνευθειακά με το έγκεντρο τριγώνου

#1

Δίνεται τρίγωνο ABC

με $A\widehat{B}C=60^\circ$ και το έγκεντρο του

. Έστω σημεία

και

στις πλευρές

και

, αντίστοιχα, τέτοια ώστε PI||BC

και

, και έστω σημεία P_1

και

στις πλευρές

και

, αντίστοιχα, τέτοια ώστε AP_1=BP

και

. Να δειχθεί ότι τα σημεία

,

, και

είναι συνευθειακά.

Πηγή: Ουκρανία - Τεστ Επιλογής ΙΜΟ

Ορέστης Λιγνός · #2

achilleas έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 12, 2022 10:33 pm
Δίνεται τρίγωνο με $A\widehat{B}C=60^\circ$ και το έγκεντρο του . Έστω σημεία και στις πλευρές και , αντίστοιχα, τέτοια ώστε και , και έστω σημεία και στις πλευρές και , αντίστοιχα, τέτοια ώστε και . Να δειχθεί ότι τα σημεία , , και είναι συνευθειακά.

Πηγή: Ουκρανία - Τεστ Επιλογής ΙΜΟ

Καλησπέρα Αχιλλέα. Καλό!

Έστω

και

τα μέσα των μικρών τόξων AB,BC

στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC

, έστω $\omega$ . Αποδεικνύουμε τους επόμενους Ισχυρισμούς:

Ισχυρισμός 1: Τα σημεία X,P,T,Y

είναι συνευθειακά.
Απόδειξη: Είναι, $\angle BIP=\angle IBC=\angle IBP$ , οπότε PB=PI

και όμοια

. Όμως, είναι $XB=XI, \, YB=YI$ , άρα τα σημεία X,P,T,Y

είναι συνευθειακά στην μεσοκάθετο της

$\blacksquare$

Ισχυρισμός 2: Έστω $(\ell_1)$ η παράλληλη εκ του

στην

και $(\ell_2)$ η παράλληλη εκ του

στην

. Τότε, $P_1 \equiv (\ell_1) \cap AB$ και $T_1 \equiv (\ell_2) \cap BC$ .
Απόδειξη: Έστω, $P_1' \equiv (\ell_1) \cap AB$ και $Q_1' \equiv (\ell_2) \cap BC$ . Το τετράπλευρο BPIT

είναι ρόμβος, άρα $\angle BPT=\angle BTP=\angle B=60^\circ$ . Οπότε, είναι

$\angle XP_1'P=\angle B=\angle XPP_1'$ ,

άρα το

ανήκει στην μεσοκάθετο του P_1'P

, και αφού XA=XB

ανήκει και στην μεσοκάθετο του

, συνεπώς είναι AP_1'=PB

, οπότε $P_1' \equiv P_1$ . Όμοια $Q_1' \equiv Q_1$ $\blacksquare$

Ισχυρισμός 3: $(\ell_1) \cap (\ell_2) \equiv \omega$ .
Απόδειξη: Έστω $U \equiv (\ell_1) \cap (\ell_2)$ . Τότε, είναι $\angle XUY=60^\circ$ , καθώς οι άλλες δύο γωνίες του τριγώνου XUY

είναι $60^\circ$ . Οπότε,

$\angle XUY=60^\circ=\angle A/2+\angle C/2=\angle BAY+\angle XAY=\angle XAY$ ,

που δίνει ότι $U \in \omega$ $\blacksquare$

Στο πρόβλημα, χρησιμοποιώντας τον τελευταίο Ισχυρισμό, από το Θεώρημα Pascal στο εγγεγραμένο εξάγωνο ABCXUY

, προκύπτει ότι τα σημεία $AB \cap XU$ , $BC \cap UY$ και $AY \cap CX$ , ήτοι τα P_1,T_1,I

, είναι συνευθειακά, όπως δηλαδή θέλαμε. Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

MAnTH05 · #3

Καλησπέρα σας!

Μία ακόμη προσέγγιση:

Αρχικά παρατηρούμε ότι το τετράπλευρο PITB

είναι ρόμβος εφόσον $PI \parallel AB$ , $PB \parallel IT$ και η BI διχοτομεί την γωνία $\angle B = 60^{\circ}$ . Επομένως ισχύει $AP_{1} = BP = BT = T_{1}C = PI = IT$ . Άρα τα τετράπλευρα $P_{1}AIT$ και $PIT_{1}C$ είναι παραλληλόγραμμα αφού έχουν δύο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες.

Έτσι $\angle P_{1}TI = \angle P_1AI = \frac{\angle A}{2}$ . Αντίστοιχα $\angle T_{1}PI = \angle ICT_{1} = \frac{\angle C}{2}$ .

Έστω $S\equiv PT_{1}\cap TP_{1}$ Η γωνία $\angle PST$ είναι εξωτερική του μη κυρτού τετραπλεύρου PITS

άρα $\angle PST = \angle PIT + \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle C}{2} = 60^{\circ} + 90^{\circ} - \frac{\angle B}{2} = 120^{\circ}$

Άρα το τετράπλευρο PSTB

είναι εγγράψιμο εφόσον $\angle PST + \angle B = 120^{\circ} + 60^{\circ} = 180^{\circ}$

Ας υποθέσουμε ότι

είναι το δεύτερο σημείο τομής των $(TST_{1})$ και $(PSP_{1})$ . To

είναι το σημείο Miquel

του πλήρους τετραπλεύρου $BPP_{1}ST_{1}T$ όμως αφού το PSTB

είναι εγγράψιμο θα ανήκει στην διαγώνιο $P_{1}T_{1}$

Από το εγγράψιμο $BPMT_{1}$ λαμβάνουμε $\angle P_{1}MP = \angle B = 60^{\circ}$

Ακόμη, ισχύει $\angle PMT = \angle PMS + \angle SMT = \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle C}{2} = 60 ^{\circ}$ άρα το

ανήκει στον (PIT)

άρα $\angle PMI = 120^{\circ}$ .

Συνεπώς $\angle P_{1}MI = \angle P_{1}MP + \angle PMI = 60^{\circ} + 120^{\circ} = 180^{\circ}$

Άρα τα σημεία $P_{1}$ ,

και $T_{1}$ είναι συνευθειακά. $\square$

: συνευθειακά με το έγκεντρο - σχήμα.png (63.33 KiB) Προβλήθηκε 922 φορές

Σημεία συνευθειακά με το έγκεντρο τριγώνου

Σημεία συνευθειακά με το έγκεντρο τριγώνου

Re: Σημεία συνευθειακά με το έγκεντρο τριγώνου

Re: Σημεία συνευθειακά με το έγκεντρο τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση