Συνευθειακά...

[giannimani]

col1.png (20.83 KiB) Προβλήθηκε 1306 φορές

Σε οξυγώνιο τρίγωνο τα σημεία , και είναι τα ίχνη των υψών στις πλευρές , και
αντίστοιχα, και το ορθόκεντρο αυτού του τριγώνου. Αν , οι προβολές των , στην
αντίστοιχα, και το μέσο του , να αποδείξετε ότι τα σημεία , και ανήκουν στην ίδια ευθεία.

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ]

col1.pngΣε οξυγώνιο τρίγωνο τα σημεία , και είναι τα ίχνη των υψών στις πλευρές , και
αντίστοιχα, και το ορθόκεντρο αυτού του τριγώνου. Αν , οι προβολές των , στην
αντίστοιχα, και το μέσο του , να αποδείξετε ότι τα σημεία , και ανήκουν στην ίδια ευθεία.

geo.png (308.7 KiB) Προβλήθηκε 1266 φορές

'Εστω . Από το πλήρες τετράπλευρο έχουμε ότι , οπότε είναι . Επίσης , οπότε από το θεώρημα του Θαλή είναι . Άρα . Οπότε

και από το αντίστροφο του θεωρήματος Μενελάου στο τρίγωνο έχουμε το ζητούμενο.

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

col1.pngΣε οξυγώνιο τρίγωνο τα σημεία , και είναι τα ίχνη των υψών στις πλευρές , και
αντίστοιχα, και το ορθόκεντρο αυτού του τριγώνου. Αν , οι προβολές των , στην
αντίστοιχα, και το μέσο του , να αποδείξετε ότι τα σημεία , και ανήκουν στην ίδια ευθεία.

Καλησπέρα
Ας δούμε την γενικότερη μορφή του «εύκολου» αυτού προβλήματος

Έστω τρίγωνο και οι σεβιανές που διέρχονται από το . Αν με να δειχθεί ότι η διέρχεται από το μέσο της

Συνευθειακά.png (22.23 KiB) Προβλήθηκε 1236 φορές

Απόδειξη
Από το πλήρες τετράπλευρο προκύπτει ότι η σειρά είναι αρμονική , με (κάθε διαγώνιος πλήρους τετραπλεύρου τέμνεται αρμονικά από τις άλλες δύο) οπότε και η δέσμη είναι αρμονική και με προκύπτει ότι το μέσο της και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

[giannimani]

col2.png (56.08 KiB) Προβλήθηκε 1173 φορές

Είναι γνωστό ότι το ορθόκεντρο του είναι το έγκεντρο του ποδικού του τριγώνου DEF .
Επομένως, άμεσα προκύπτει ότι το είναι το παράκεντρο του DEF. Αν το σημείο επαφής
του παρεγγεγραμμένου κύκλου με την , και το αντιδιαμετρικό του, τότε στο τραπέζιο
τα και είναι τα μέσα των βάσεών του, και το σημείο τομής των διαγωνίων του. Από γνωστή
ιδιότητα του τραπεζίου, τα σημεία αυτά ανήκουν στην ίδια ευθεία.

Υ.Γ Προστέθηκε στο σχήμα η διαγώνιος του τραπεζίου . Εκ παραδρομής λείπει η απόδειξη ότι αυτή διέρχεται από το .
Λόγω ώρας θα προστεθεί αύριο.

Υ.Γ2. Τα σημεία , και ανήκουν στην ίδια ευθεία, εφόσον τα , είναι ομόλογα σημεία της ομοιοθεσίας κέντρου
που μετασχηματίζει τον εγγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου DEF στον παρεγγεγραμμένο κύκλο του.