Μετασχηματισμός τετράδων

#1

Αν έχουμε μια τετράδια θετικών πραγματικών (a,b,c,d)

τότε μπορούμε να την μετασχηματίσουμε στην τετράδα (ab,bc,cd,da)

.

Να δειχθεί ότι αν η αρχική τετράδα δεν είναι η (1,1,1,1)

τότε επαναλαμβάνοντας τον πιο πάνω μετασχηματισμό δεν θα καταλήξουμε ποτέ στην αρχική τετράδα.

Πηγή: Σοβιετική Ένωση 1961

#2

Demetres έγραψε:Αν έχουμε μια τετράδια θετικών πραγματικών τότε μπορούμε να την μετασχηματίσουμε στην τετράδα .

Να δειχθεί ότι αν η αρχική τετράδα δεν είναι η τότε επαναλαμβάνοντας τον πιο πάνω μετασχηματισμό δεν θα καταλήξουμε ποτέ στην αρχική τετράδα.

Μία λύση υπάρχει στο βιβλίο των Ν. Βασίλιεφ, Α. Γεγκόροφ, Πανενωσιακές Μαθηματικές Ολυμπιάδες της Ε.Σ.Σ.Δ., σε μετάφραση, από τις εκδόσεις Κάτοπτρο. Όμως πριν δω την λύση, την έλυσα ανεξάρτητα. Γράφω την λύση μου επειδή είναι διαφορετική.

Έστω ότι το (a,b,c,d)

μετασχηματίζεται τελικά στον εαυτό του. Θέλουμε να δείξουμε ότι a=b=c=d=1

, που βέβαια μετασχμματίζεται στον εαυτό του, ήδη από το πρώτο βήμα.

Το (a,b,c,d)

μετασχηματίζεται στο (x,y,z,w)=(ab,bc,cd,da)

και παρατηρούμε ότι xz=yw

, και αυτό συμβαίνει αενάως. Άρα υποχρωχτικά πρέπει ac=bd

αλλιώς το

δεν έχει ελπίδα να καταλήξει στον εαυτό του.

Το γινόμενο των στοιχείων των του (a,b,c,d)

είναι βέβαια abcd

ενώ του

είναι

. Αυτό σημαίνει ότι αν α) abcd >1

τότε κάθε επόμενη τετράδα έχει γνήσια μεγαλύτερο γινόμενο όρων από την προηγούμενή της, και άρα από την αρχική. Σε αυτή την περίπτωση αποκλείεται το (a,b,c,d)

να ξαναφτάσει στον εαυτό του. Όμοια αν β) abcd<1

, τότε κάθε επόμενο γινόμενο όρων είναι μικρότερο, οπότε πάλι δεν καταλήγουμε στην αρχική τετράδα. Συνεπώς ισχύει υποχρεωτικά abcd=1.

Σε συνδυασμό με το ac=bd

συμπεραίνουμε ότι ac=bd=1

, και άρα ο αρχικός όρος είναι της μορφής $\left ( a, b, \frac {1}{a}, \frac {1}{b} \right ).$ Ο επόμενος αυτού είναι ο $\left ( ab, \frac {b}{a}, \frac {1}{ab}, \frac {a}{b} \right )$ , που βέβαια είναι της ίδια μορφής (δηλαδή xz=yw=1

).

Εξετάζουμε τώρα το άθροισμα των στοιχείων του αρχικού και του νέου. Είναι $a+ b+ \frac {1}{a}+\frac {1}{b}$ και $ab + \frac {b}{a} + \frac {1}{ab} + \frac {a}{b}$ , αντίστοιχα. Παρατηρούμε ότι το πρώτο άθροισμα είναι μικρότερο ή ίσο του δευτέρου. Πράγματι, αυτό προκύπτει από πρόσθεση κατά μέλη των

$a \le \frac {1}{2} \left ( ab + \frac {a}{b} \right) ,\, ~ b \le \frac {1}{2} \left ( ab + \frac {b}{a} \right) ,\, ~ \frac {1}{a} \le \frac {1}{2} \left ( \frac {b}{a}+ \frac {1}{ab} \right) ,\, ~\frac {1}{b} \le \frac {1}{2} \left ( \frac {a}{b}+ \frac {1}{ab} \right)$ με ισότητα αν και μόνον αν a=b=1

.

Άρα η επόμενη τετράδα έχει μεγαλύτερο άθροισμα στοιχείων εκτός στην περίπτωση όπου a=b=1

. Άρα μόνο σε αυτή την περίπτωση μπορεί να ξαναφτάσει στον εαυτό του, και η απόδειξη ολοκληρώνεται.

#3

Το είδαμε κι εδώ:
http://mathematica.gr/forum/viewtopic.p ... 120#p88836

Μετασχηματισμός τετράδων

Μετασχηματισμός τετράδων

Re: Μετασχηματισμός τετράδων

Re: Μετασχηματισμός τετράδων

Μέλη σε σύνδεση