Αριθμητική ακολουθία
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
Αριθμητική ακολουθία
Καλησπέρα σε όλους, το παρόν από το Invariants Society του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης.
Για φυσικό ορίζουμε το ως τον μέγιστο πρώτο διαιρέτη του .
Έστω η ακολουθία με .
Να βρεθεί ο μέγιστος με .
Για φυσικό ορίζουμε το ως τον μέγιστο πρώτο διαιρέτη του .
Έστω η ακολουθία με .
Να βρεθεί ο μέγιστος με .
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Αριθμητική ακολουθία
Καλησπέρα.
ΛΗΜΜΑ:
Για κάθε τέλειο τετράγωνο πρώτου , , υπάρχει αντίστοιχος ίσος όρος της ακολουθίας.
Απόδειξη με επαγωγή
Έστω η ακολουθία των πρώτων αριθμών.
Αν , θα δείξω ότι .
Για κάθε με , είναι
.
Αυτό αποδεικνύεται με επαγωγή , καθώς .
Τελικά, .
Για κάθε με , είναι
.
Αυτό αποδεικνύεται με επαγωγή , καθώς .
Τελικά, .
Ερχόμαστε στο αρχικό πρόβλημα.
Παρατηρούμε ότι για να πάμε από το τέλειο τετράγωνο στο , προχωράμε κατά
όρους.
Το μέγιστο τέλειο τετράγωνο πρώτου μέχρι το είναι το .
Για να μεταβούμε από το στο , προχωρούμε κατά
όρους.
Άρα,
και παίρνουμε διαδοχικά,
Τελικά, ο ζητούμενος αριθμός
Έκανα κάποιες διορθώσεις στο τέλος της λύσης.Ευχαριστώ τον κύριο Δημήτρη Σκουτέρη για την επισήμανση.
ΛΗΜΜΑ:
Για κάθε τέλειο τετράγωνο πρώτου , , υπάρχει αντίστοιχος ίσος όρος της ακολουθίας.
Απόδειξη με επαγωγή
Έστω η ακολουθία των πρώτων αριθμών.
Αν , θα δείξω ότι .
Για κάθε με , είναι
.
Αυτό αποδεικνύεται με επαγωγή , καθώς .
Τελικά, .
Για κάθε με , είναι
.
Αυτό αποδεικνύεται με επαγωγή , καθώς .
Τελικά, .
Ερχόμαστε στο αρχικό πρόβλημα.
Παρατηρούμε ότι για να πάμε από το τέλειο τετράγωνο στο , προχωράμε κατά
όρους.
Το μέγιστο τέλειο τετράγωνο πρώτου μέχρι το είναι το .
Για να μεταβούμε από το στο , προχωρούμε κατά
όρους.
Άρα,
και παίρνουμε διαδοχικά,
Τελικά, ο ζητούμενος αριθμός
Έκανα κάποιες διορθώσεις στο τέλος της λύσης.Ευχαριστώ τον κύριο Δημήτρη Σκουτέρη για την επισήμανση.
τελευταία επεξεργασία από ksofsa σε Τετ Αύγ 24, 2022 7:38 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Κώστας
Re: Αριθμητική ακολουθία
Προσοχή Κώστα, υπάρχει λαθάκι ακριβώς στο τέλος. Μετά το δεν έχουμε (διορθώθηκε).
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Re: Αριθμητική ακολουθία
Κύριε Δημήτρη, σας ευχαριστώ για την επισήμανση του λάθους.Απροσεξία λόγω βιασύνης.Εξάλλου , το λάθος στο τέλος δεν είναι συμβατό με όσα γράφω παραπάνω για τη μετάβαση από το ένα τετράγωνο πρώτου στο επόμενο ( όροι μπροστά). Έκανα τη διόρθωση.Ελπίζω να είναι σωστό τώρα.
Κώστας
Re: Αριθμητική ακολουθία
Τέλεια Κώστα.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Re: Αριθμητική ακολουθία
Πρακτικά ίδια ιδέα:
Παρατηρούμε ότι για κάθε υπάρχουν ,τέτοια ώστε:
και .
Έτσι εύκολα θα βρούμε ότι .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες