Διαιρετότητα

petrosqw · #1

Βρείτε όλους τους μη αρνητικούς ακεραίους

ώστε $(2^{2m+1})^{2}+1$ να διαιρείται με δυο το πολύ διαφορετικούς μεταξύ τους πρώτους

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

petrosqw έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 26, 2019 4:20 pm
Βρείτε όλους τους μη αρνητικούς ακεραίους
ώστε $(2^{2m+1})^{2}+1$ να διαιρείται με δυο το πολύ διαφορετικούς μεταξύ τους πρώτους

Καλησπέρα!

$(2^{2m+1})^2+1=\left ( 2^{2m+1}+1 \right )^2-2^{2m+2}=\left ( 2^{2m+1}-2^{m+1}+1 \right )\left ( 2^{2m+1}+2^{m+1}+1 \right )$

Για να είναι ο πρώτος παράγοντας

πρέπει $2^{2m+1}=2^{m+1}\Leftrightarrow m=0$ το οποίο επαληθεύει την συνθήκη.
Έστω τώρα $m\neq 0$
Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

άρτιος,έστω

Είναι $2^{2m+1}-2^{m+1}+1=2^{4k+1}-2^{2k+1}+1\equiv 2-2(-1)^k+1\equiv 3-2(-1)^k(\mod 5)$
$2^{2m+1}+2^{m+1}+1\equiv 3+2(-1)^k(\mod5)$

Έτσι ανάλογα με το αν

άρτιος ή περιττός ένας από τους παράγοντες είναι πολλαπλάσιο του

Αν $2^{2m+1}-2^{m+1}+1=5\Leftrightarrow 2^{2m+1}-2^{m+1}=4\Leftrightarrow m=1\equiv 1(\mod2)$ άτοπο!
Αν $2^{2m+1}+2^{m+1}+1=5\Leftrightarrow m=0$ ,αυτή τη λύση την έχουμε αναφέρει πιο πάνω.

περιττός,έστω

$2^{2m+1}+2^{m+1}+1=2^{4k+3}+2^{2k+2}+1\Leftrightarrow 4-\left ( -1 \right )^k(\mod5)$
$2^{2m+1}-2^{m+1}+1=2^{4k+3}+2^{2k+2}+1\Leftrightarrow 4+\left ( -1 \right )^k(\mod5)$

Έτσι ένας από τους

παράγοντες είναι ίσος με πέντε.
$2^{2m+1}-2^{m+1}+1=5\Leftrightarrow m=1$
$2^{2m+1}+2^{m+1}+1=5$ ,πάλι m=0

Για

βλέπουμε πως $2^{2m+1}+2^{m+1}+1=13$ άρα αποτελεί λύση.

Άρα m=0

ή

miltosk · #3

petrosqw έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 26, 2019 4:20 pm
Βρείτε όλους τους μη αρνητικούς ακεραίους
ώστε $(2^{2m+1})^{2}+1$ να διαιρείται με δυο το πολύ διαφορετικούς μεταξύ τους πρώτους

Λέγοντας με 2 το πολύ διαφορετικούς πρώτους εννοούμε και τις δυνάμεις αυτών;
Για παράδειγμα: για m=2

έχουμε $(2^{2m+1})^2+1=5^2\cdot41$ που αυτός διαιρείται με δύο το πολύ διαφορετικούς μεταξύ τους πρώτους και ο ένας εξ αυτών ταυτίζεται με άλλον.
Αν δεν εννοείς αυτό όμως νομίζω πως είναι ενδιαφέρουσα τροποποίηση.

petrosqw · #4

miltosk έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 26, 2019 5:44 pm

petrosqw έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 26, 2019 4:20 pm
Βρείτε όλους τους μη αρνητικούς ακεραίους
ώστε $(2^{2m+1})^{2}+1$ να διαιρείται με δυο το πολύ διαφορετικούς μεταξύ τους πρώτους
Λέγοντας με 2 το πολύ διαφορετικούς πρώτους εννοούμε και τις δυνάμεις αυτών;
Για παράδειγμα: για έχουμε $(2^{2m+1})^2+1=5^2\cdot41$ που αυτός διαιρείται με δύο το πολύ διαφορετικούς μεταξύ τους πρώτους και ο ένας εξ αυτών ταυτίζεται με άλλον.
Αν δεν εννοείς αυτό όμως νομίζω πως είναι ενδιαφέρουσα τροποποίηση.

Οι πρώτοι αυτοί δεν είναι υψωμένοι σε δυνάμεις

JimNt. · #5

petrosqw έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 26, 2019 6:20 pm

miltosk έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 26, 2019 5:44 pm

petrosqw έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 26, 2019 4:20 pm
Βρείτε όλους τους μη αρνητικούς ακεραίους
ώστε $(2^{2m+1})^{2}+1$ να διαιρείται με δυο το πολύ διαφορετικούς μεταξύ τους πρώτους
Λέγοντας με 2 το πολύ διαφορετικούς πρώτους εννοούμε και τις δυνάμεις αυτών;
Για παράδειγμα: για έχουμε $(2^{2m+1})^2+1=5^2\cdot41$ που αυτός διαιρείται με δύο το πολύ διαφορετικούς μεταξύ τους πρώτους και ο ένας εξ αυτών ταυτίζεται με άλλον.
Αν δεν εννοείς αυτό όμως νομίζω πως είναι ενδιαφέρουσα τροποποίηση.
Οι πρώτοι αυτοί δεν είναι υψωμένοι σε δυνάμεις

Ένας πρώτος είναι υψωμένος σε μία δύναμη όταν αυτό που λέμε ότι είναι υψωμένο σε μια δύναμη είναι το p^k

με $k \ge 1$ . Ουσιαστικά από την εκφώνηση προκύπτει αυτό που λέει ο miltosk. (δεν βάζω πως λύνεται γιατί δεν επιτρέπεται απλή αναφορά)

christinat · #6

Θα δείξουμε ότι οι μοναδικές τιμές που μπορεί να πάρει το

είναι

ή

$(2^{2m+1})^{2}+1=(2^{2m+1}+2^{m+1}+1)(2^{2m+1}-2^{m+1}+1)$

Οι δυο αυτοί παράγοντες είναι περιττοί και η διαφορά τους είναι $2^{m+2}$
Οποτε είναι μεταξύ τους πρώτοι

Ισχύει ακόμη ότι $(2^{2m+1})^{2}=4^{2m+1}\equiv -1(mod5)$

Άρα κάποιος από τους δυο παράγοντες πρέπει να είναι δυναμη του 5

Έστω λοιπόν $2^{2m+1}+2^{m+1}s+1=5^{k}$ ,όπου
s=1

ή

Υποθέτουμε τωρα ότι για καποια $m\geq 3$ ικανοποιείται το ζητούμενο

$2^{2m+1}+2^{m+1}s+1\equiv 1(mod8)\Rightarrow 5^{k}\equiv 1(mod8)$

Οποτε το

είναι άρτιος , k=2l

Άρα $2^{m+1}(2^{m}+s)=(5^{l}-1)(5^{l}+1)$

$5^{l}+1\equiv 2(mod4)$

Οποτε $5^{l}-1=2^{m}a$ για κάποιον περιττό

Όμως αν

τοτε:

$2=(5^{l}+1)-(5^{l}-1)=2(2^{m}+s)-2^{m}=2^{m}+2s\geq 2^{3}-2$ ,άτοπο

Αν $a\geq 3$ τοτε:

$5^{l-1}\geq 3*2^{m}$

Ενώ $5^{l}+1\leq 2(2^{m}+s)$ ,άτοπο

Διαιρετότητα

Διαιρετότητα

Re: Διαιρετότητα

Re: Διαιρετότητα

Re: Διαιρετότητα

Re: Διαιρετότητα

Re: Διαιρετότητα

Μέλη σε σύνδεση