Είναι δύσκολη (?) η εκθετική
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
-
- Δημοσιεύσεις: 42
- Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2018 5:40 pm
Είναι δύσκολη (?) η εκθετική
Χρόνια Πολλά και Χριστός Ανέστη!
Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων που είναι τέτοια ώστε .
Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων που είναι τέτοια ώστε .
Κωνσταντινίδης Κωνσταντίνος
Λέξεις Κλειδιά:
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4100
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Είναι δύσκολη (?) η εκθετική
Δύσκολη!
Για παίρνουμε . Για παίρνουμε κι έτσι και λόγω του ότι , οι δυνάμεις επαναλαμβάνονται κάθε κι έτσι διαιρώντας τον εκθέτη με το , βρίσκουμε ότι για να ισχύει η πρέπει , έστω . Αντικαθιστώντας στην αρχική και παίρνοντας (λόγω του μικρού θεωρήματος του Fermat έχουμε ) παίρνουμε τελικά και λόγω του ότι , άρα οι μόνες τιμές για το που αρκεί να δοκιμάσουμε είναι οι για καμία από τις οποίες δεν ισχύει η .
Άρα μοναδική λύση η .
Αλέξανδρος
Για παίρνουμε . Για παίρνουμε κι έτσι και λόγω του ότι , οι δυνάμεις επαναλαμβάνονται κάθε κι έτσι διαιρώντας τον εκθέτη με το , βρίσκουμε ότι για να ισχύει η πρέπει , έστω . Αντικαθιστώντας στην αρχική και παίρνοντας (λόγω του μικρού θεωρήματος του Fermat έχουμε ) παίρνουμε τελικά και λόγω του ότι , άρα οι μόνες τιμές για το που αρκεί να δοκιμάσουμε είναι οι για καμία από τις οποίες δεν ισχύει η .
Άρα μοναδική λύση η .
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Re: Είναι δύσκολη (?) η εκθετική
Μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει το σημείο αυτό ?-cretanman έγραψε: ↑Τετ Μάιος 01, 2019 9:50 pmΔύσκολη!
Για παίρνουμε . Για παίρνουμε κι έτσι και λόγω του ότι , οι δυνάμεις επαναλαμβάνονται κάθε κι έτσι διαιρώντας τον εκθέτη με το , βρίσκουμε ότι για να ισχύει η πρέπει , έστω . Αντικαθιστώντας στην αρχική και παίρνοντας (λόγω του μικρού θεωρήματος του Fermat έχουμε ) παίρνουμε τελικά και λόγω του ότι , άρα οι μόνες τιμές για το που αρκεί να δοκιμάσουμε είναι οι για καμία από τις οποίες δεν ισχύει η .
Άρα μοναδική λύση η .
Αλέξανδρος
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4100
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Είναι δύσκολη (?) η εκθετική
Καλημέρα! Εάν ένας ακέραιος και ένας ακέραιος πρώτος προς το , τότε το ("τάξη του " στα ελληνικά) ορίζεται ως ο ελάχιστος θετικός ακέραιος ώστε .
Άρα το παραπάνω σημαίνει ότι ο ελάχιστος θετικός ακέραιος ώστε είναι το .
Λόγω του θεωρήματος Euler ισχύει ότι , αποδεικνύεται σχετικά εύκολα ότι το διαιρεί το . Γι'αυτό όταν αναζητούμε την τάξη ενός ακεραίου ψάχνουμε πάντα στους διαιρέτες του . Έτσι, αφού άρα η τάξη του είναι κάποιος διαιρέτης του και αφού κανένας εκ των δυνάμεων δεν είναι ίσο με , συμπεραίνουμε ότι
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4100
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Είναι δύσκολη (?) η εκθετική
Θα μπορούσες να βάλεις αναλυτικά τη λύση σου; Η παραπάνω απέχει πάρα πολύ από το να μπορεί να θεωρηθεί ως λύση και σίγουρα δε θα έπαιρνε πάρα ελάχιστες έως καθόλου μονάδες σε επίπεδο διαγωνισμών.
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Re: Είναι δύσκολη (?) η εκθετική
Με έχω:
Με έχω:
Με έχω:
Αδύνατη
Re: Είναι δύσκολη (?) η εκθετική
Τρίτη λύση:
Αν
Με έχω :
Με έχω: (όπως πρίν)
Με έχω:
Αδύνατη
Αν έχω μοναδική λύση την
Αν
Με έχω :
Με έχω: (όπως πρίν)
Με έχω:
Αδύνατη
Αν έχω μοναδική λύση την
Re: Είναι δύσκολη (?) η εκθετική
Τετάρτη λύση:
Αν τότε και :
Με έχουμε:
Με έχουμε:
Αδύνατη
Αν τότε και
Αν τότε και :
Με έχουμε:
Με έχουμε:
Αδύνατη
Αν τότε και
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες