Εύρεση ακεραίου

JimNt. · #1

Υπάρχει πολλαπλάσιο του 103

,

για το οποίο ισχύει: $2^{2x+1} \equiv 2 \mod x$ ;

#2

Πρέπει $x|2(2^{2x}-1)$ . Αφού 103|x

τότε $103|2^{2x}-1$ . Έστω

ελάχιστος θετικός ακέραιος ώστε 103|2^d - 1

. Τότε

. Ισχυρίζομαι ότι 17|d

. Αν όχι, αφού $102 = 6 \cdot 17$ και ο

είναι πρώτος, τότε d|6

. Όμως

και άρα $103 \nmid 2^d-1$ για d|6

.

Είναι 2x = kd

για κάποιο φυσικό

. Αφού

τότε

. Άρα και $17|2^{2x} - 1$ . Έχουμε $4^2 = 16 \equiv -1 \bmod 17$ , άρα $4^4 \equiv 1 \bmod 17$ . Οπότε το μικρότερο

ώστε

είναι το

. (Πρέπει

αλλά $d \nmid 4$ .)

Τότε όμως έχουμε 8|2x

και άρα

. Άρα $4|2(2^{2x}-1)$ που δίνει $2|2^{2x}-1$ το οποίο είναι άτοπο.

Άρα δεν υπάρχει τέτοιο

.