Διαιρετότητα

#1

Βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους

τέτοιους ώστε ο αριθμός n!+ 8

να διαιρείται από τον 2n+ 1.

Petros N. · #2

Πολύ ωραία άσκηση!
Για n=1,2

έχω λύσεις. Θα αποδείξω ότι αν υπάρχουν λύσεις για n>2

τοτε ο

είναι πρώτος.

Έστω οτι έχω λύση με 2n+1

σύνθετο και n>2

.
Αφού είναι σύνθετος θα έχει τουλάχιστον ένα μη μοναδιαίο διαιρέτη $d< \sqrt{2n+1}$ . Είναι $n> \sqrt{2n+1}$ (αφού n>2

) άρα $d<n \Rightarrow d|n!$ . Είναι $d|2n+1 \Rightarrow d|n!+8 \Rightarrow d|8$ ,οπότε ο

είναι άρτιος, άτοπο αφού 2n+1

περιττός. Άρα 2n+1

πρώτος.

Εύκολα προκύπτει ότι $(n+1)(n+2)...2n \equiv (-1)^nn!(mod2n+1)$ .
Πολλαπλασιάζοντας και τα 2 μέλη με

έχω $(2n)!(-1)^n \equiv (n!)^2(mod2n+1)$
Απο το θεώρημα Wilson όμως είναι $(2n)! \equiv -1(mod2n+1)$ άρα είναι
$(n!)^2 \equiv (-1)^{n+1}(mod2n+1)$
Για να ισχύει το ζητούμενο όμως πρέπει $n! \equiv -8(mod2n+1) \Rightarrow (n!)^2 \equiv 64(mod2n+1)$ .
Άρα $64 \equiv (-1)^{n+1}(mod2n+1)$

Παίρνω τώρα 2 περιπτώσεις:
i) $2|n \Rightarrow 2n+1|65 \Rightarrow 2n+1=5 or 2n+1+13 \Rightarrow n=2,6$
ii) $n \equiv 1(mod2) \Rightarrow 2n+1|63 \Rightarrow 2n+1=3 or 2n+1=7 \Rightarrow n=1,3$

Άρα η αρχική συνθήκη ικανοποιείται για n=1,2,3,6

.

#3

Διαιρετότητα

Διαιρετότητα

Re: Διαιρετότητα

Re: Διαιρετότητα

Μέλη σε σύνδεση