θεωρια αριθμων

petros r · #1

Βρειτε ολους τους φυσικους αριθμους n τετοιους ωστε το $n^{2}$ να μην διαιρει το n!
(n!=1*2*3****n)

#2

Ισοδύναμα θα δούμε πότε ο

δεν διαιρεί το (n-1)!

. Αν ο

είναι πρώτος από το θεώρημα του Wilson έχουμε

$\displaystyle{(n-1)!\equiv -1\mod n}$ και άρα οι πρώτοι αποτελούν λύσεις του προβλήματος.

Αν τώρα ο

είναι σύνθετος, θα γράφεται ως n=rs

όπου

με

ακεραίους. Επομένως, σίγουρα στην ανάλυση του (n-1)!

θα εμφανίζονται οι παράγοντες r,s

, οπότε ο

θα διαιρεί τον (n-1)!

.

Άρα τελικά οι μόνοι αριθμοί με τη ζητούμενη ιδιότητα είναι οι πρώτοι.

petros r · #3

για την πορεια σκεψης σου αλλα ημιτελης απαντηση δυστυχως

#4

matha έγραψε: Άρα τελικά οι μόνοι αριθμοί με τη ζητούμενη ιδιότητα είναι οι πρώτοι.

Και ο 4

petros r · #5

Μπραβο! Μονο να δικαιολογησουμε γιατι ειναι ο 4
αν το $n=r^{2}$ με r>2 tote r<2r<n και επομενως $n^{2}$ διαιρει το n!
Αν n=rs με 1<r<s tote r<s<n kai ara $rsn=n^{2}$ διαιρει τον n!
συνεπως μονο οι πρωτοι αριθμοι και ο 4 εχουν την ζητουμενη ιδιοτητα

christodoulos703 · #6

Και για n=0 ισχύει.

θεωρια αριθμων

θεωρια αριθμων

Re: θεωρια αριθμων

Re: θεωρια αριθμων

Re: θεωρια αριθμων

Re: θεωρια αριθμων

Re: θεωρια αριθμων

Μέλη σε σύνδεση