Δύσκολη διχοτόμηση

[KARKAR]

Δύσκολη διχοτόμηση.png (8.44 KiB) Προβλήθηκε 1667 φορές

Από σημείο εξωτερικό του τριγώνου να αχθεί ευθεία , η οποία να τέμνει τις πλευρές του ,

σε σημεία αντίστοιχα , έτσι ώστε το τρίγωνο να είναι ισεμβαδικό με το τετράπλευρο .

Σημείωση : Το θέμα ήταν κλασικό για τα χρόνια της απαιτητικής Γεωμετρίας ( δεν θυμάμαι πια την κατασκευή ! )

Μήπως το να βρίσκεται το σημείο στην προέκταση της βάσης , διευκολύνει κάπως την λύση ;

[Mihalis_Lambrou]

Για την ιστορία, γενίκευση του ωραίου αυτού προβλήματος οφείλεται στον Απολλώνιο ο οποίος το μελέτησε στο έργο του Χωρίου αποτομή (στα Αγγλικά Cutting off of an area και στα Λατινικά De Spatii Sectione, για την περίπτωση που θέλετε να το ψάξετε). Δυστυχώς το έργο δεν σώζεται αλλά έχει περίληψή του ο Πάππος στην Συναγωγή του. Επίσης υπάρχουν πολλές ανασυστάσεις του έργου από διάσημους Γεωμέτρες, ο οποίοι γράφουν τι πιθανόν να περιείχε το έργο, πάντα με βάση την περίληψη του Πάππου. Όλες εξαιρετικές.

Η γενίκευση του προβλήματος είναι η εξής: Δίνεται γωνία , δύο σημεία στις πλευρές της, και σημείο . Ζητείτε να αχθεί ευθεία δια μέσου του η οποία να τέμνει τις πλευρές της γωνίας στα έτσι ώστε το γινόμενο να είναι δοθέν εμβαδόν.

Στην άσκηση του Θανάση τα είναι και τα δύο στο . Εδώ το γινόμενο είναι σταθερό αφού το τρίγωνο είναι δοθέν, οπότε εμπίπτουμε στο πρόβλημα που έθεσε ο Απολλώνιος.

Σε άλλο έργο του ο Απολλώνιος, στο Λόγου αποτομή, μελετά το αντίστοιχο πρόβλημα όπου τώρα ο λόγος να είναι δοθείς. Αυτού του έργου έχει χαθεί το Ελληνικό προτότυπο αλλά υπάρχει μεσαιωνική Αραβική μετάφραση.