Τρισορθογώνιο τετράεδρο

[george visvikis]

Ορισμός: Θεωρούμε τετράεδρο Αν μία τρίεδρη γωνία του, π.χ η τρίεδρη γωνία με κορυφή

είναι τρισορθογώνια, τότε το ονομάζεται τρισορθογώνιο τετράεδρο κατά την κορυφή

Τρισορθογώνιο τετράεδρο.png (26.88 KiB) Προβλήθηκε 381 φορές

Δίνεται τρισορθογώνιο τετράεδρο κατά την κορυφή Μία μεταβλητή σφαίρα διέρχεται από τα

σημεία Αν οι επανατέμνουν τη σφαίρα στα σημεία αντίστοιχα και

είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου να δείξετε ότι η είναι κάθετη στο επίπεδο του τριγώνου

και διέρχεται από το ορθόκεντρό του.

[S.E.Louridas]

Ορισμός: Θεωρούμε τετράεδρο Αν μία τρίεδρη γωνία του, π.χ η τρίεδρη γωνία με κορυφή
είναι τρισορθογώνια, τότε το ονομάζεται τρισορθογώνιο τετράεδρο κατά την κορυφή
Δίνεται τρισορθογώνιο τετράεδρο κατά την κορυφή Μία μεταβλητή σφαίρα διέρχεται από τα
σημεία Αν οι επανατέμνουν τη σφαίρα στα σημεία αντίστοιχα και
είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου να δείξετε ότι η είναι κάθετη στο επίπεδο του τριγώνου
και διέρχεται από το ορθόκεντρό του.

Τα συνεπίπεδα σημεία είναι ομοκυκλικά αφού η τομή σφαίρας από επίπεδο (αν υπάρχει και εδώ υπάρχει) είναι κύκλος.
Ας αναχθούμε λοιπόν στην αντίστοιχη γνωστή πρόταση της επίπεδης Γεωμετρίας (που εξάλλου αποδεικνύεται εύκολα):
Έστω δύο κάθετες χορδές κύκλου που τέμνονται στο τότε η κάθετη από το στην διέρχεται από το μέσο της
Προκύπτει λοιπόν με την να είναι κάθετη στο επίπεδο αφού
Επομένως παίρνουμε Αν ονομάσουμε το ορθόκεντρο του τριγώνου
τότε η διάμεσος είναι συνεπίπεδη με το ύψος πλέον και η διάμεσος συνεπίππεδη με το ύψος
Η τομή των επιπέδων αυτών είναι η στην οποία ανήκει η κορυφή
Εδώ ακριβώς και λόγω της ορθογωνιότητας τελειώσαμε.

sfera.png (101.34 KiB) Προβλήθηκε 338 φορές

[Al.Koutsouridis]

Ορισμός: Θεωρούμε τετράεδρο Αν μία τρίεδρη γωνία του, π.χ η τρίεδρη γωνία με κορυφή

είναι τρισορθογώνια, τότε το ονομάζεται τρισορθογώνιο τετράεδρο κατά την κορυφή
Τρισορθογώνιο τετράεδρο.png
Δίνεται τρισορθογώνιο τετράεδρο κατά την κορυφή Μία μεταβλητή σφαίρα διέρχεται από τα

σημεία Αν οι επανατέμνουν τη σφαίρα στα σημεία αντίστοιχα και

είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου να δείξετε ότι η είναι κάθετη στο επίπεδο του τριγώνου

και διέρχεται από το ορθόκεντρό του.

Παρατηρούμε ότι το τετράεδρο είναι ορθοκεντρικό. Πράγματι τα ύψη του διέρχονται από το ίδιο σημείο . Άρα, λόγω των ιδιοτήτων των ρθοκεντρικών τετράεδρων, οι απέναντι ακμές του είναι κάθετες μεταξύ τους.

Θα δείξουμε την παρακάτω πρόταση για ορθοκεντρικά τετράεδρα.

Πρόταση 1. Σε ορθοκεντρικό τετράεδρο τα σημεία ( το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας, το σημείο τομής των διαμέσων του και το σημείο τομής των υψών του αντίστοιχα) βρίσκονται στην ίδια ευθεία (ευθεία Euler ορθοκεντρικού τετράεδρου) και είναι το μέσο του .

Απόδειξη: Έστω σημείο για το οποίο . Τότε και

.

Εφόσον , τότε θα ισχύει ,

και . Επομένως



Η τελευταία έκφραση είναι συμμετρική ως προς τα , άρα θα ισχύει . Δηλαδή το σημείο συμπίπτει με το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας , του τετράεδρου .

Δείξαμε ότι

Από την άλλη . Από όπου πέρνουμε



Όμως , οπότε τελικά έχουμε

.


Θα δείξουμε και την παρακάτω πρόταση , γενικά για τετράεδρα.

Πρόταση 2. Φέρουμε σφαίρα που διέρχεται από τις κορυφές ενός τετράεδρου η οποία τέμνει τις ακμές ή τις προεκτάσεις τους στα σημεία αντίστοιχα. Τότε το επίπεδο είναι παράλληλο στο εφαπτόμενο επίπεδο στην περιγεγεγραμμένη σφαίρα του στο σημείο . Το τρίγωνο συχνά αναφέρεται και ως αντιπαράλληλη τομή του τετράεδρου ως προς το σημείο .

Απόδειξη: Θεωρούμε το επίπεδο, που ορίζουν τα σημεία και έστω η τομή αυτού του επιπέδου με το εφαπτόμενο επίπεδο στο σημείο . Από το θεώρημα χορδής και εφαπτομένης έχουμε ότι .

Από το εγεγραμμένο τετράπλευρο (στην αρχική μας σφαίρα), έχουμε ότι . 'Αρα θα ισχύει . Δηλαδή .

Ομοίως βρίσκουμε και ότι οι ευθείες παράλληλες προς το εφαπτόμενο επίπεδο της περιγεγραμμένης σφαίρας του στο σημείο . Άρα και το επίπεδο θα είναι παράληλλο προς αυτό.

Στο πρόβλημά μας τώρα. Εφόσον το είναι ορθοκεντρικό, από την πρόταση 1 παραπάνω, τo σημεία , το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας και το ορθόκεντρο είναι συνευθειακά. 'Αρα η , ως φορέας της ακτίνας της περιγεγραμμένης σφαίρας του είναι κάθετη προς το εφαπτόμενο επίπεδο σε αυτή την σφαίρα στο σημείο .

Από την πρόταση 2 όμως το επίπεδο είναι η αντιπαράλληλη τομή του τετραέδρου ως προς το σημείο , οπότε είναι παράλληλο προς το παραπάνω εφαπτόμενο επίπεδο.

Επομένως η ευθεία είναι κάθετη και στο επίπεδο

trisorthogonio_tetraedro.png (123.64 KiB) Προβλήθηκε 325 φορές

[S.E.Louridas]

Πρόταση 1. Σε ορθοκεντρικό τετράεδρο τα σημεία ( το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας, το σημείο τομής των διαμέσων του και το σημείο τομής των υψών του αντίστοιχα) βρίσκονται στην ίδια ευθεία (ευθεία Euler ορθοκεντρικού τετράεδρου) και είναι το μέσο του .

Ας μου επιτραπεί να καταθέσω μία επιπλέον άποψη μετά από την άριστη λύση του Αλέξανδρου.

Έστω το ορθοκεντικό τετράεδρο Αν πάρουμε ως σημείο αναφοράς το τρίγωνο τότε το ορθόκεντρο του τετραέδρου θα προβάλλεται στο ορθόκεντρο του τριγώνου το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας θα προβάλλεται στο κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του Από το θεώρημα Euler στο τρίγωνο το κέντρο βάρους του τριγώνου θα ανήκει στην ευθεία άρα το κέντρο βάρους του τετραέδρου θα ανήκει στο επίπεδο στο οποίο επίπεδο ανήκει και το Με ίδιο σκεπτικό θα ανήκει και στο αντίστοιχο επίπεδο αν πάρουμε σαν βάση το τρίγωνο και απέναντι κορυφή το Τα επίπεδα όμως αυτά έχουν ως τομή την ευθεία στην οποία αναγκαστικά θα ανήκει και το σημείο αφού τα επίπεδα αυτά δεν ταυτίζονται. Αν ενώσουμε τώρα το μέσο της με το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος τότε ορίζεται το τρίγωνο που η πλευρά του διέρχεται από το μέσο του και που οδηγεί στο ότι Είναι βέβαια γνωστό ότι το είναι μέσο του

gd1.png (73.72 KiB) Προβλήθηκε 219 φορές

[george visvikis]

Ευχαριστώ το Σωτήρη και τον Αλέξανδρο για τις πολύ ωραίες λύσεις τους. Να σημειώσω

απλώς ότι η άσκηση είναι από το βιβλίο του Γιάννη Ντάνη, Γεωμετρία του Χώρου 2 (1972).