Συμμετροδιάμεσος και εφαπτόμενοι κύκλοι!
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
Συμμετροδιάμεσος και εφαπτόμενοι κύκλοι!
Δίνεται τρίγωνο με εσωτερική διχοτόμο Η κάθετη από το στην τέμνει την εξωτερική διχοτόμο της γωνίας στο σημείο και ο κύκλος κέντρου και ακτίνας τέμνει τις πλευρές στα σημεία αντίστοιχα. Αν η ευθεία της - συμμετροδιαμέσου του τριγώνου επανατέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του στο σημείο , να αποδείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων και εφάπτονται.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Συμμετροδιάμεσος και εφαπτόμενοι κύκλοι!
Μια άποψη)( όχι λύση )Dimessi έγραψε: ↑Τετ Δεκ 20, 2023 7:19 pmΔίνεται τρίγωνο με εσωτερική διχοτόμο Η κάθετη από το στην τέμνει την εξωτερική διχοτόμο της γωνίας στο σημείο και ο κύκλος κέντρου και ακτίνας τέμνει τις πλευρές στα σημεία αντίστοιχα. Αν η ευθεία της - συμμετροδιαμέσου του τριγώνου επανατέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του στο σημείο , να αποδείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων και εφάπτονται.
Αντιστρέφω τον κύκλο ( μπλε) με πόλο το και δύναμη αντιστροφής και προκύπτει η ευθεία .
Αντιστρέφω τον κύκλο με ίδιο πόλο και ίδια δύναμη και προκύπτει ο κύκλος ( λαχανί επιφάνεια) . Το αντίστροφο του είναι το , σημείο επαφής της με τον , οπότε οι κύκλοι : εφάπτονται στο σημείο .
- Συνημμένα
-
- Συμμετροδιάμεσος και εφαπτόμενοι κύκλοι.ggb
- (39.71 KiB) Μεταφορτώθηκε 15 φορές
Re: Συμμετροδιάμεσος και εφαπτόμενοι κύκλοι!
Έξυπνες σκέψεις! Μέχρι να δοθεί η λύση (αλλιώς θα βάλω τη δική μου αν μείνει αναπάντητη για πολύ καιρό), προσθέτω ένα επιπλέον ερώτημα:
Αν το μέσο του μεγάλου τόξου του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου , να αποδείξετε ότι η ευθεία περνάει από το περίκεντρο του τριγώνου
Αν το μέσο του μεγάλου τόξου του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου , να αποδείξετε ότι η ευθεία περνάει από το περίκεντρο του τριγώνου
Re: Συμμετροδιάμεσος και εφαπτόμενοι κύκλοι!
Από τον «αυτόματο πιλότο» Το τρίγωνο που επέλεξα, έχει αμβλεία την γωνία του στο . Το είναι μέσο του «βορείου» μεν αλλά μικρού , τόξου .Dimessi έγραψε: ↑Πέμ Δεκ 21, 2023 4:08 pmΈξυπνες σκέψεις! Μέχρι να δοθεί η λύση (αλλιώς θα βάλω τη δική μου αν μείνει αναπάντητη για πολύ καιρό), προσθέτω ένα επιπλέον ερώτημα:
Αν το μέσο του μεγάλου τόξου του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου , να αποδείξετε ότι η ευθεία περνάει από το περίκεντρο του τριγώνου
Επί πλέον: τα τέσσερα σημεία : ανήκουν στην ίδια ευθεία .
-
- Δημοσιεύσεις: 92
- Εγγραφή: Σάβ Οκτ 23, 2021 1:02 am
- Τοποθεσία: Λάρισα
Re: Συμμετροδιάμεσος και εφαπτόμενοι κύκλοι!
Πρώτο σκέλος: το , το κέντρο του κύκλου και το μέσο του τόξου είναι συνευθειακά.
Αν η τομή των κάθετων στις ευθειών που άγονται από τα αντίστοιχα τότε , απ' όπου τα τετράπλευρα είναι εγγράψιμα, και τα είναι ομοκυκλικά στον κύκλο διαμέτρου .
και κύκλος έχει κέντρο το μέσο της (αφού ), άρα εφάπτεται της στο , όπως και ο , οπότε ο ριζικός τους άξονας είναι η . Για την τριάδα , έχουμε ότι οι ανά δύο ριζικοί τους άξονες συντρέχουν, άρα οι συντρέχουν, έστω στο .
Θα αποδείξουμε ότι και οι ευθείες συντρέχουν (στο P).
Ας είναι η τομή των εφαπτομένων του στα . Προφανώς οι διέρχονται από το .
Έστω επίσης .
Από θεώρημα Pascal για το τα είναι συνευθειακά. Από Pascal για το τα είναι συνευθειακά.
Επομένως τα είναι συνευθειακά, άρα τα τρίγωνα είναι προοπτικά (ως προς άξονα).
Άρα οι συντρέχουν, όπως θέλαμε.
Έστω τώρα .
Επειδή στο τρίγωνο τα ύψη συντρέχουν. Από θεώρημα Ceva:
Έστω το μέσο της , και η προβολή του πάνω στην . Προφανώς και το βρίσκεται πάνω στην . Επίσης η διέρχεται από το .
Από την ομοιότητα των και θεώρημα θαλή με παράλληλες τις και τέμνουσες τις λαμβάνουμε:
Από την ομοιότητα των λαμβάνουμε: , ή
Επειδή , τα ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια (με ομόλογα ύψη) και συνεπώς: .
Η τελευταία λόγω της (1) δίνει: .
Επομένως, από αντίστρορφο του θεωρήματος Μενελάου στο τρίγωνο , παίρνουμε συνευθειακά.
Δεύτερο σκέλος: το είναι το κέντρο του κύκλου .
Έστω και .
Παρατηρούμε ότι , άρα:
, οπότε το είναι εγγράψιμο.
Έχουμε τώρα
, άρα:
, οπότε .
Επίσης από δύναμη σημείου: άρα τα είναι ομοκυκλικά.
Επειδή προφανώς και , το (ως τομή των μεσοκαθέτων των τμημάτων ) είναι το κέντρο του παραπάνω κύκλου.
οπότε οι κύκλοι εφάπτονται (εσωτερικά) στο .
Αν η τομή των κάθετων στις ευθειών που άγονται από τα αντίστοιχα τότε , απ' όπου τα τετράπλευρα είναι εγγράψιμα, και τα είναι ομοκυκλικά στον κύκλο διαμέτρου .
και κύκλος έχει κέντρο το μέσο της (αφού ), άρα εφάπτεται της στο , όπως και ο , οπότε ο ριζικός τους άξονας είναι η . Για την τριάδα , έχουμε ότι οι ανά δύο ριζικοί τους άξονες συντρέχουν, άρα οι συντρέχουν, έστω στο .
Θα αποδείξουμε ότι και οι ευθείες συντρέχουν (στο P).
Ας είναι η τομή των εφαπτομένων του στα . Προφανώς οι διέρχονται από το .
Έστω επίσης .
Από θεώρημα Pascal για το τα είναι συνευθειακά. Από Pascal για το τα είναι συνευθειακά.
Επομένως τα είναι συνευθειακά, άρα τα τρίγωνα είναι προοπτικά (ως προς άξονα).
Άρα οι συντρέχουν, όπως θέλαμε.
Έστω τώρα .
Επειδή στο τρίγωνο τα ύψη συντρέχουν. Από θεώρημα Ceva:
Έστω το μέσο της , και η προβολή του πάνω στην . Προφανώς και το βρίσκεται πάνω στην . Επίσης η διέρχεται από το .
Από την ομοιότητα των και θεώρημα θαλή με παράλληλες τις και τέμνουσες τις λαμβάνουμε:
Από την ομοιότητα των λαμβάνουμε: , ή
Επειδή , τα ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια (με ομόλογα ύψη) και συνεπώς: .
Η τελευταία λόγω της (1) δίνει: .
Επομένως, από αντίστρορφο του θεωρήματος Μενελάου στο τρίγωνο , παίρνουμε συνευθειακά.
Δεύτερο σκέλος: το είναι το κέντρο του κύκλου .
Έστω και .
Παρατηρούμε ότι , άρα:
, οπότε το είναι εγγράψιμο.
Έχουμε τώρα
, άρα:
, οπότε .
Επίσης από δύναμη σημείου: άρα τα είναι ομοκυκλικά.
Επειδή προφανώς και , το (ως τομή των μεσοκαθέτων των τμημάτων ) είναι το κέντρο του παραπάνω κύκλου.
οπότε οι κύκλοι εφάπτονται (εσωτερικά) στο .
Γιώργος Κοτσάλης
Re: Συμμετροδιάμεσος και εφαπτόμενοι κύκλοι!
Βάζω και τη δική μου λύση. Γιώργο, σ ευχαριστώ! 1ο σκέλος-αρχικό πρόβλημα.
Έχουμε και αφού , έχουμε άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. Έστω . Το τετράπλευρο είναι αρμονικό, άρα άρα τα σημεία είναι συνευθειακά. Θεωρούμε το μέσο του και ως γνωστό, η ευθεία διέρχεται από το αντιδιαμετρικό του ως προς τον περιγεγραμμένο κύκλο του εγγράψιμου τετραπλεύρου (αφού ).
Είναι άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. Επιπλέον άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. Οι ευθείες συντρέχουν στο ριζικό κέντρο των κύκλων έστω Η είναι εσωτερική διχοτόμος στο τρίγωνο και η εξωτερική, άρα η δέσμη είναι αρμονική, επομένως το είναι το αρμονικό συζυγές του ως προς τα και ταυτίζεται με το αρμονικό συζυγές του ως προς τα άρα τα σημεία είναι συνευθειακά. Αφού τα σημεία είναι ομοκυκλικά, άρα άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και συνεπώς το είναι το σημείο Miquel του τριγώνου ως προς τα σημεία άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. Επομένως και και αφού το είναι το κέντρο του κύκλου και η εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου άρα Φέρνουμε την εφαπτομένη στο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου και έστω ένα τυχαίο σημείο της άρα άρα η ευθεία εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου συνεπώς οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων και δέχονται στο κοινό τους σημείο κοινή εφαπτομένη, άρα εφάπτονται στο σημείο
2ο σκέλος- επιπρόσθετο ερώτημα.
Έχουμε Επιπλέον, το είναι το περίκεντρο του τριγώνου άρα Θεωρούμε το μέσο του μη κυρτού τόξου της χορδής του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου άρα είναι το περίκεντρο του τριγώνου και αφού οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων και εφάπτονται, έπεται ότι τα σημεία και το περίκεντρο του τριγώνου είναι συνευθειακά.
Υ.Γ Η λύση του Γιώργου (Κοτσάλη) είναι εξαιρετική. Το πρόβλημα μπορεί να λυθεί και με bashing, αλλά εμείς είμαστε fun της γεωμετρίας και σε όποιον αρέσει.
Έχουμε και αφού , έχουμε άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. Έστω . Το τετράπλευρο είναι αρμονικό, άρα άρα τα σημεία είναι συνευθειακά. Θεωρούμε το μέσο του και ως γνωστό, η ευθεία διέρχεται από το αντιδιαμετρικό του ως προς τον περιγεγραμμένο κύκλο του εγγράψιμου τετραπλεύρου (αφού ).
Είναι άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. Επιπλέον άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. Οι ευθείες συντρέχουν στο ριζικό κέντρο των κύκλων έστω Η είναι εσωτερική διχοτόμος στο τρίγωνο και η εξωτερική, άρα η δέσμη είναι αρμονική, επομένως το είναι το αρμονικό συζυγές του ως προς τα και ταυτίζεται με το αρμονικό συζυγές του ως προς τα άρα τα σημεία είναι συνευθειακά. Αφού τα σημεία είναι ομοκυκλικά, άρα άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και συνεπώς το είναι το σημείο Miquel του τριγώνου ως προς τα σημεία άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. Επομένως και και αφού το είναι το κέντρο του κύκλου και η εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου άρα Φέρνουμε την εφαπτομένη στο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου και έστω ένα τυχαίο σημείο της άρα άρα η ευθεία εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου συνεπώς οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων και δέχονται στο κοινό τους σημείο κοινή εφαπτομένη, άρα εφάπτονται στο σημείο
2ο σκέλος- επιπρόσθετο ερώτημα.
Έχουμε Επιπλέον, το είναι το περίκεντρο του τριγώνου άρα Θεωρούμε το μέσο του μη κυρτού τόξου της χορδής του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου άρα είναι το περίκεντρο του τριγώνου και αφού οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων και εφάπτονται, έπεται ότι τα σημεία και το περίκεντρο του τριγώνου είναι συνευθειακά.
Υ.Γ Η λύση του Γιώργου (Κοτσάλη) είναι εξαιρετική. Το πρόβλημα μπορεί να λυθεί και με bashing, αλλά εμείς είμαστε fun της γεωμετρίας και σε όποιον αρέσει.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες