Ευθεία εφάπτεται κύκλου

giannimani · #1

Δίνεται τρίγωνο ABC

. Το σημείο

είναι τέτοιο, ώστε $BX \bot BC$ και AX = BX

, και το σημείο

τέτοιο, ώστε $CY \bot BC$ και AY = CY

. Οι ευθείες

και

τέμνονται στο σημείο

.
Να αποδείξετε ότι η ευθεία

εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου $\Omega$ του τριγώνου ABC

.

: touch_line_circle.png (27.67 KiB) Προβλήθηκε 578 φορές

Henri van Aubel · #2

Είναι $\displaystyle \frac{AX}{AB}\cdot \frac{AB}{AC}=\frac{1}{2\sin B}\cdot \frac{\sin C}{\sin B}$ και $\displaystyle \frac{AC}{AY}=2\sin C$ .

Επομένως $\displaystyle \frac{BX}{CY}=\frac{AX}{AY}\overset{CY\parallel BX}=\frac{TB}{TC}=\frac{a}{TC}+1=\frac{\sin ^{2}C}{\sin ^{2}B}=\frac{c^{2}}{b^{2}}\Leftrightarrow \frac{a}{TC}=\frac{c^{2}-b^{2}}{b^{2}}.$

Συνεπώς, είναι $\displaystyle \boxed{TC=\frac{ab^{2}}{c^{2}-b^{2}}}\left ( 1 \right )$

Αρκεί να δείξουμε ότι $\displaystyle TA^{2}=TC\cdot TB\Leftrightarrow TC^{2}+CA^{2}+2TC\cdot CA\cdot \cos C=TC^{2}+TC\cdot CB\Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow b^{2}+TC\cdot \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{a}=TC\cdot a\Leftrightarrow \boxed{TC\cdot \frac{c^{2}-b^{2}}{a}=b^{2}}\left ( 2 \right )$

Ως εκ τούτου, αρκεί να ισχύει η $\left ( 2 \right )$ , η οποία είναι ισοδύναμη με την ισχύουσα $\left ( 1 \right )$ και η απόδειξη ολοκληρώθηκε...

thepigod762 · #3

$\dfrac{TY}{TX} \overset{YC \parallel XB}{=} \dfrac{YC}{XB} = \dfrac{AY}{AX} \Rightarrow$ η

είναι η εξωτερική διχοτόμος της $\angle XAY$ .

Έστω

το κέντρο του $\Omega$ .

Αφού $\angle OAB = 90^{o} - \angle ACB$ (με

το αντιδιαμετρικό του

είναι $\angle OAB = \angle A'AB = \angle A'CB = 90^{o} - \angle ACB$ ) και $\angle BAX = \angle ABX = 90^{o} - \angle ABC$ λαμβάνουμε
$\displaystyle \angle OAX = \angle OAB + \angle ABX = 180^{o} - \angle ACB - \angle ABC = \angle BAC.$

Όμοια $\angle OAY = \angle BAC = \angle OAX$ άρα

η εσωτερική διχοτόμος της $\angle XAY$ , οπότε $OA \perp AT$ και το ζητούμενο δείχθηκε.

Henri van Aubel · #4

thepigod762 έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 23, 2023 4:19 pm
$\dfrac{TY}{TX} \overset{YC \parallel XB}{=} \dfrac{YC}{XB} = \dfrac{AY}{AX} \Rightarrow$ η είναι η εξωτερική διχοτόμος της $\angle XAY$ .

Έστω το κέντρο του $\Omega$ .

Αφού $\angle OAB = 90^{o} - \angle ACB$ (με το αντιδιαμετρικό του είναι $\angle OAB = \angle A'AB = \angle A'CB = 90^{o} - \angle ACB$ ) και $\angle BAX = \angle ABX = 90^{o} - \angle ABC$ λαμβάνουμε
$\displaystyle \angle OAX = \angle OAB + \angle ABX = 180^{o} - \angle ACB - \angle ABC = \angle BAC.$

Όμοια $\angle OAY = \angle BAC = \angle OAX$ άρα η εσωτερική διχοτόμος της $\angle XAY$ , οπότε $OA \perp AT$ και το ζητούμενο δείχθηκε.

Γιώργο, από εκεί που απέδειξες ότι

εξωτερική διχοτόμος της $\angle XAY$ , το ζητούμενο προκύπτει και χωρίς πείραγμα του σχήματος.

$\displaystyle \angle TAY=90^\circ-\frac{\angle XAY}{2}=90^\circ-\frac{90^\circ-C+90^\circ-B+A}{2}=90^\circ-A$

$\displaystyle \angle TAC=\angle TAY+\angle CAY=90^\circ-A+90^\circ-C=\angle ABC$

Ευθεία εφάπτεται κύκλου

Ευθεία εφάπτεται κύκλου

Re: Ευθεία εφάπτεται κύκλου

Re: Ευθεία εφάπτεται κύκλου

Re: Ευθεία εφάπτεται κύκλου

Μέλη σε σύνδεση