Και αυτές συντρέχουν

[orestisgotsis]

ΠΕΡΙΤΤΑ

[giannimani]

Το είναι παραλληλόγραμμο ( ως κάθετες στην , και ως κάθετες στην ).
Επομένως, οι διαγώνιοί του , διχοτομούνται, δηλαδή, το είναι το κοινό μέσο των , .

Λήμμα 1: Η ευθεία είναι παράλληλη της , όπου το σημείο επαφής του παρεγγεγραμμένου
κύκλου του τριγώνου με την πλευρά .
Από το λήμμα αυτό εύκολα προκύπτει ότι:
Η ευθεία διχοτομεί το , δηλαδή, αν , τότε μέσο του .

Λήμμα 2: H ευθεία είναι παράλληλη της .

Οι αποδείξεις των λημμάτων 1,2 πραγματοποιούνταιι εύκολα με τη χρήση του μετασχηματισμού της ομοιοθεσίας,
και σίγουρα υπάρχουν στο

Επομένως, στο τραπέζιο οι ευθείες των μη παράλληλων πλευρών , , και η ευθεία που διέρχεται
από τα μέσα των βάσεών του, τέμνονται σε ένα σημείο.

conc.png (67 KiB) Προβλήθηκε 660 φορές

[giannimani]

Η απόδειξη του Λήμματος 1 εδώ

Μπορούμε επίσης να αποδείξουμε ότι η ευθεία διχοτομεί το ευθύγραμμο τμήμα , χρησιμοποιώντας το θεώρημα Newton:

Αν ένα τετράπλευρο είναι περιγεγραµµένο σε κύκλο, τότε το κέντρο του κύκλου ανήκει στην ευθεία που διέρχεται από τα µέσα των διαγωνίων του τετραπλεύρου.

Πράγματι, το µπορεί να ϑεωρηθεί ως το εκφυλισµένο τετράπλευρο ().
Τότε, σύµφωνα µε το Θεώρηµα του Newton τα σηµεία και (μέσα των διαγωνίων) καθώς επίσης και το κέντρο
του εγγεγραµµένου του κύκλου, ανήκουν στην ίδια ευθεία.

[orestisgotsis]

ΠΕΡΙΤΤΑ

[thepigod762]

Επίσης: Αν η τομή της με τον και το ίχνος του ύψους από το στη , η διέρχεται από το .

Πράγματι, ισχύει η εξής πρόταση, η οποία προκύπτει από την συνευθειακότητα των , , και του αντιδιαμετρικού του στον -παραγεγγραμμένο (απ' όπου έχουμε και το λήμμα 2): αν μέσο του , συνευθειακά.

Επίσης, είναι γνωστό (από μεταφορές γωνιών) ότι είναι το συμμετρικό του ως προς την .

Το ζητούμενο τώρα έπεται κοιτώντας το τραπέζιο .

Ενδιαφέρον έχει και η εξής προσέγγιση χωρίς κανένα από τα λήμματα με τις ομοιοθεσίες: παρατηρούμε ότι αν το συμμετρικό του ως προς την , η διέρχεται από το . Για την απόδειξη, αν έχουμε αρμονική, οπότε προβάλλοντας στην (που είναι παράλληλη στην ακτίνα AL) παίρνουμε το ζητούμενο.

Επειδή (αφού ) με τα ομοκυκλικά θα είναι και αφού , η διέρχεται από το .

Οι τομές των , , δηλαδή τα σχηματίζουν ευθεία παράλληλη στις . Έπεται ότι τα είναι προοπτικά άρα από Desargues οι  συντρέχουν.

Οι τομές τώρα των , , δηλαδή τα σημεία σχηματίζουν ευθεία παράλληλη προς τις ( συμμετρικά ως προς τη με ), άρα προοπτικά και οι συντρέχουν.