Συντρέχεια από περίκεντρο και τομές

Henri van Aubel · #1

Δίνεται εγγράψιμο τετράπλευρο ABCD

και

το κέντρο του περίκυκλού του. Οι ευθείες

και

τέμνονται στο σημείο

και έστω

το αντιδιαμετρικό του

στον περίκυκλο του τριγώνου BCE.

Να δείξετε ότι οι ευθείες

,

και

συντρέχουν.

Υ.Γ: Λογικά θα αποδειχτεί απλή, αν θέλετε αλλάξτε τον φάκελο

#2

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 12, 2023 11:50 am
Δίνεται εγγράψιμο τετράπλευρο και το κέντρο του περίκυκλού του. Οι ευθείες και τέμνονται στο σημείο και έστω το αντιδιαμετρικό του στον περίκυκλο του τριγώνου Να δείξετε ότι οι ευθείες , και συντρέχουν.

Είναι άμεση εφαρμογή του Θεωρήματος των αναλόγων διαιρέσεων, που έχουμε ξαναδεί στο

. ( Δείτε Εδώ )

Πράγματι, έστω το σημείο $P\equiv AC\cap BD$ και ας είναι $M,\ N,$ τα μέσα των πλευρών $AB,\ CD$ αντιστοίχως, και $S,\ T,$ οι προβολές του

επί των $AB,\ CD,$ αντιστοίχως.

: Συντρέχεια από περίκεντρο και τομές.; f 181_t 74308.PNG (25.12 KiB) Προβλήθηκε 814 φορές

$\bullet$ Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα $\vartriangle SPB,\ \vartriangle TPC$ και τα όμοια τρίγωνα $\vartriangle PBA,\ \vartriangle PCD$ έχουμε:

$\displaystyle \frac{BS}{CT} = \frac{PB}{PC} = \frac{BA}{CD} = \frac{BM}{CN}\Rightarrow$ $\boxed{\displaystyle \frac{BS}{BM} = \frac{CT}{CN}}\ \ \ ,(1)$

Από (1)

και $FB\parallel PS\parallel OM$ και $FC\parallel PT\parallel ON,$ σύμφωνα με το Θεώρημα των αναλόγων διαιρέσεων, συμπεραίνεται ότι τα σημεία $F,\ P,\ O$ είναι συνευθειακά και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

Henri van Aubel · #3

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#4

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 12, 2023 11:50 am
Δίνεται εγγράψιμο τετράπλευρο και το κέντρο του περίκυκλού του. Οι ευθείες και τέμνονται στο σημείο και έστω το αντιδιαμετρικό του στον περίκυκλο του τριγώνου Να δείξετε ότι οι ευθείες , και συντρέχουν.

Υ.Γ: Λογικά θα αποδειχτεί απλή, αν θέλετε αλλάξτε τον φάκελο

Ας δούμε και μια διαφορετική προσέγγιση του ως άνω προβλήματος

Έστω S,T

τα σημεία τομής της στο $P\equiv AC\cap BD$ καθέτου επί την

με τις ευθείες AB,CD

αντίστοιχα και ας είναι

το δεύτερο (εκτός του

) σημείο τομής των περίκυκλων των τριγώνων $\vartriangle PBS,\vartriangle PCT$

: Συντρέχεια από περίκεντρο και τομές.png (37.93 KiB) Προβλήθηκε 755 φορές

Από το θεώρημα της πεταλούδας είναι PS=PT

και $\angle SFP\overset{P,S,B,F\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle SBP\equiv \angle ABD\overset{A,B,C,D\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle ACD\equiv \angle PCT\overset{P,F,C,T\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle PFT$ οπότε στο τρίγωνο $\vartriangle FSD$ η

είναι διχοτόμος και διάμεσος άρα θα είναι και ύψος (ισοσκελές πλέον το τρίγωνο) και συνεπώς $FP\bot ST\overset{OP\bot ST}{\mathop{\Rightarrow }}\,O,P,F$ συνευθειακά.

Και $\angle FBE\overset{F,B,S,P\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle FPS={{90}^{0}}=\angle FPT\overset{F,P,T,C\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle FCE\Rightarrow E,B,F,C$ ομοκυκλικά σε κύκλο $\left( K \right)$ διαμέτρου

και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

#5

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 14, 2023 9:29 am
Ευχαριστώ πολύ τον κύριο Κώστα για τη λύση !

Κώστα και λοιποί φίλοι το έχω πει και άλλού, θερμή παράκληση, όταν τουλάχιστον αναφέρεστε σε μένα να χρησιμοποιείτε τον ενικό.

Για την ευγένεια που πρέπει να υπάρχει στις σχέσεις μεταξύ των ανθρώπων, δεν αναφέρεται πουθενά ως προαπαιτούμενο ο πληθυντικός.

Δεν είμαστε δύο ξένοι που συναντιόμαστε για πρώτη φορά στον δρόμο. Έστω και εάν δεν έχει τύχει να βρεθούμε δια ζώσης, γνωριζόμαστε με όρους εκτίμησης αρκετά μεταξύ μας.

Αντί της προσφώνησης "κύριε", είναι προτιμώτερο να με λέτε απλά Κώστα, ακόμα και εάν η διαφορά ηλικίας μας είναι μεγάλη και είναι κάτι που προσδοκώ.

Κώστας Βήττας.

2nisic · #6

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 12, 2023 11:50 am
Δίνεται εγγράψιμο τετράπλευρο και το κέντρο του περίκυκλού του. Οι ευθείες και τέμνονται στο σημείο και έστω το αντιδιαμετρικό του στον περίκυκλο του τριγώνου Να δείξετε ότι οι ευθείες , και συντρέχουν.

Έστω $Z=AD\cap BC,P=DB\cap AC$ και

το σημείο Miquel του τετράπλευρου ABCD

θα δείξουμε ότι O,P,M

συνευθειακα και ότι η ευθεία

είναι καθετή στην

τότε έχουμε το ζητούμενο.
$\measuredangle AMC=\measuredangle AMB+\measuredangle BMC=\measuredangle AZB+\measuredangle BEC=$
$\measuredangle DBC-\measuredangle ADB+\measuredangle ACD-\measuredangle CAB=180-2\measuredangle ADC=180-\measuredangle AOC$ οπότε τα M,A,O,B

είναι ομοκυκλικα.
$\measuredangle ZMD=\measuredangle AMZ+\measuredangle AMO=\measuredangle ABZ+\measuredangle ACO=\measuredangle ADC+\measuredangle OCA=90$
Αλλά και $OP\perp ZE$ από το θεώρημα Brocard

Henri van Aubel · #7

Έστω $AC\cap BD=P$ τότε αρκεί να δείξουμε ότι $\angle FPC=\angle APO$ κι αφού $\angle APO+\angle DPO=\angle BPF+\angle FPC$ , έπεται πως αρκεί να δείξουμε ότι $\displaystyle \frac{\sin \angle APO}{\sin \angle DPO}=\frac{\sin \angle FPC}{\sin \angle BPF}.$

Έχουμε $\angle FBP=90^\circ-\angle ABD=90^\circ-\angle ACD=\angle FCP$ οπότε οι κύκλοι $\left ( BFP \right )$ και $\left ( CFP \right )$ είναι ίσοι και συνεπώς $\displaystyle \frac{\sin \angle FPC}{\sin \angle BPF}=\frac{\sin \angle FBC}{\sin \angle BCF}=\frac{\cos \angle EBC}{\cos \angle BCE}=\frac{\cos \angle ADC}{\cos \angle BAD}=\frac{\sin \angle OAP}{\sin \angle ODP}$

Όμως $\displaystyle \frac{\sin \angle APO}{\sin \angle DPO}=\frac{\sin \angle OAP}{\sin \angle ODP}$ και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Συντρέχεια από περίκεντρο και τομές

Συντρέχεια από περίκεντρο και τομές

Re: Συντρέχεια από περίκεντρο και τομές

Re: Συντρέχεια από περίκεντρο και τομές

Re: Συντρέχεια από περίκεντρο και τομές

Re: Συντρέχεια από περίκεντρο και τομές

Re: Συντρέχεια από περίκεντρο και τομές

Re: Συντρέχεια από περίκεντρο και τομές

Μέλη σε σύνδεση