Συντρέχεια σε εγγεγραμμένο τραπέζιο

sakis1963 · #1

: 2021.068.FB8268 mathematica.jpg (44.75 KiB) Προβλήθηκε 1295 φορές

Εστω εγγεγραμμένο τραπέζιο ABCD, (AB>||CD)

, χορδή

του περίκυκλού του και

το μέσον της χορδής.

Αν $K\equiv AF\cap CM, L\equiv AD\cap EF$ ,

δείξτε ότι οι συντρέχουν

#2

Για να ισχύει το ζητούμενο $KL\cap DF\cap MB\equiv P$ , αρκεί να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα $\vartriangle KDM,\ \vartriangle LFB$ είναι προοπτικά.

$\bullet$ Αρκεί δηλαδή να αποδειχθεί ότι τα σημεία $X\equiv KD\cap LF$ και $Y\equiv KM\cap LB$ και $Z\equiv DM\cap FB$ είναι συνευθειακά.

Έστω τα σημεία $N\equiv AB\cap CM$ και $S\equiv AB\cap DM$ και $T\equiv AB\cap DF.$

Στο τρίγωνο $\vartriangle LFB$ , για είναι είναι συνευθειακά τα σημεία $X\in LF$ και $Y\in LB$ και $Z\in FB$ ,

σύμφωνα με το Θεώρημα Μενελάου, αρκεί να αποδειχθεί ότι ισχύει $\boxed{\displaystyle \frac{XL}{XF}\cdot \frac{ZF}{ZB}\cdot \frac{YB}{YL}} = 1\ \ \ ,(1)$

Αλλά, από το τρίγωνο $\vartriangle LAF$ με διατέμνουσα την DXK

έχουμε $\displaystyle \frac{XL}{XF}\cdot \frac{KF}{KA}\cdot \frac{DA}{DL} = 1\ \ \ ,(2)$

Από $(2)\Rightarrow$ $\boxed{\displaystyle \frac{XL}{XF} = \frac{KA}{KF}\cdot \frac{DL}{DA} = \frac{NA}{MF}\cdot \frac{DF}{DT}}\ \ \ ,(3)$ λόγω $\displaystyle \frac{KA}{KF} = \frac{NA}{MF}$ από $MF\parallel NA$ και $\displaystyle \frac{DL}{DA} = \frac{DF}{DT}$ από $LF\parallel AT$ .

: Συντρέχεια σε εγγεγραμμένο τραπέζιο - 1η απόδειξη.; f=181_t=73642.PNG (29.07 KiB) Προβλήθηκε 1069 φορές

$\bullet$ Ισχύει $\boxed{\displaystyle \frac{ZF}{ZB} = \frac{MF}{SB}}\ \ \ ,(4)$ λόγω $MF\parallel SB$ και $\boxed{\displaystyle \frac{YB}{YL} = \frac{NB}{ML}}\ \ \ ,(5)$ λόγω $ML\parallel NB$ .

Από $(1),\ (3),\ (4),\ (5)$ αρκεί να αποδειχθεί ότι ισχύει $\boxed{\displaystyle \frac{NA}{MF}\cdot \frac{DF}{DT}\cdot \frac{MF}{SB}\cdot \frac{NB}{ML} = 1}\ \ \ ,(6)$

Από (6)

και

γιατί το

ανήκει στην κοινή μεσοκάθετη ευθεία των βάσεων του δοσμένου ισοσκελούς τραπεζίου ABCD

,

αρκεί να αποδειχθεί ότι ισχύει $\boxed{\displaystyle \frac{DF}{DT}\cdot \frac{NB}{ML} = 1}\ \ \ ,(7)$

Αλλά, ισχύει $\boxed{\displaystyle \frac{DF}{DT} = \frac{MF}{ST}}\ \ \ ,(8)$ από $MF\parallel ST$

Από $(7),\ (8)$ αρκεί να αποδειχθεί ότι $\displaystyle \frac{MF}{ST}\cdot \frac{NB}{ML} = 1$ αρκεί $\boxed{\displaystyle \frac{MF}{ML} = \frac{ST}{NB}}\ \ \ ,(9)$

Η (9)

όμως ισχύει λόγω $\displaystyle \frac{MF}{ML} = \frac{ST}{SA}$ από $LF\parallel AT$ και NB = SA

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

#3

Τελικά, υπάρχει απλούστερη προσέγγιση, βασισμένη σε γνωστό Θεώρημα, από το παρελθόν ( αλλά, η απόδειξη που ακολουθεί είναι λανθασμένη ).

$\bullet$ Έστω τα σημεία $S\equiv LB\cap MK$ και $T\equiv DB\cap MF$ .

Τα σημεία $S,\ T,$ είναι σημεία τομήςτων διαγωνίων των τετραπλεύρων $LMBK,\ DMBF$ αντιστοίχως και το σημείο τομής των απέναντι πλευρών του τετραπλέυρου $DF,\ LK$ του τετραπλεύρου DLKB

.

Για να ισχύει $LK\cap MB\cap DF\equiv P$ , σύμφωνα με το αντίστροφο γνωστού Θεωρήματος, που αφορά στα συγκλίνοντα ευθύγραμμα τμήματα (*),

αρκεί να αποδειχθεί ότι τα σημεία $A,\ S,\ T$ είναι συνευθειακά.

: Συντρέχεια σε εγγεγραμμένο τραπέζιο - 2η απόδειξη.; f=181_t=73642 (a).PNG (22.85 KiB) Προβλήθηκε 1060 φορές

$\bullet$ Στο τρίγωνο $\vartriangle DLB$ , για να είναι τα σημεία $A\in DL$ και $S\in LB$ και $T\in BD$ συνευθειακά, σύμφωνα με το Θεώρημα Μενελάου,

αρκεί να αποδειχθεί ότι ισχύει $\boxed{\displaystyle \frac{TD}{TB}\cdot \frac{SB}{SL}\cdot \frac{AL}{AD}= 1}\ \ \ ,(1)$

Αλλά, ισχύει $\boxed{\displaystyle \frac{TD}{TB} = \frac{DL}{LA}}\ \ \ ,(2)$ και $\boxed{\displaystyle \frac{SB}{SL} = \frac{AB}{LT} = \frac{DA}{DL}}\ \ \ ,(3)$ λόγω $LT\parallel AB$ .

Από $(1),\ (2),\ (3)$ αρκεί να αποδειχθεί ότι $\boxed{\displaystyle \frac{DL}{LA}\cdot \frac{DA}{DL}\cdot \frac{AL}{AD} = 1}\ \ \ ,(4)$ η οποία όμως αληθεύει και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

(*) ΘΕΩΡΗΜΑ. Εάν τρία ευθύγραμμα τμήματα συγκλίνουν, τα σημεία τομής των διαγωνίων των τετραπλεύρων που ορίζονται από δύο ζεύγη τμημάτων και το σημείο τομής των απέναντι πλευρών, το διάφορο του σημείου σύγλισης, που ορίζεται από το τρίτο ζεύγος, είναι συνευθειακά και αντιστρόφως.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ(1). Τρία ευθύγραμμα τμήματα λογίζονται ως συγκλίνοντα, εάν οι φορείς των ευθειών τους συντρέχουν και αφήνεται ως άσκηση σε όποιον δεν το έχει ξαναδεί, η απόδειξη του ως άνω θεωρήματος.

ΥΓ(2). Την πάτησα σαν αρχάριος, αφού θεώρησα οτι ισχύει η (3)

με δεδομένη την συνευθειακότητα των σημείων $A,\ S,\ T$ , που είναι ζητούμενο προς απόδειξη. Το αφήνω όμως μήπως βρεθεί τρόπος να αναιρεθεί το λάθος και σωθεί η απόδειξη.

ΥΓ(3). Στην επόμενη ανάρτηση η 2η απόδειξη σωσμένη, με αναίρεση του λάθους. Η παρούσα ανάρτηση θα διαγραφεί στο τέλος του μήνα.

#4

Τελικά, υπάρχει απλούστερη προσέγγιση, βασισμένη σε γνωστό Θεώρημα, από το παρελθόν.

$\bullet$ Έστω τα σημεία $S\equiv LB\cap MK$ και $T\equiv DB\cap MF$ .

Τα σημεία $S,\ T,$ είναι σημεία τομήςτων διαγωνίων των τετραπλεύρων $LMBK,\ DMBF$ αντιστοίχως και το σημείο τομής των απέναντι πλευρών του τετραπλέυρου $DF,\ LK$ του τετραπλεύρου DLKB

.

Για να ισχύει $LK\cap MB\cap DF\equiv P$ , σύμφωνα με το αντίστροφο γνωστού Θεωρήματος, που αφορά στα συγκλίνοντα ευθύγραμμα τμήματα (*),

αρκεί να αποδειχθεί ότι τα σημεία $A,\ S,\ T$ είναι συνευθειακά.

: Συντρέχεια σε εγγεγραμμένο τραπέζιο - 2η απόδειξη .; f=181_t=73642 (b).PNG (23.35 KiB) Προβλήθηκε 1059 φορές

$\bullet$ Στο τρίγωνο $\vartriangle DLB$ , για να είναι τα σημεία $A\in DL$ και $S\in LB$ και $T\in BD$ συνευθειακά, σύμφωνα με το Θεώρημα Μενελάου,

αρκεί να αποδειχθεί ότι ισχύει $\boxed{\displaystyle \frac{TD}{TB}\cdot \frac{SB}{SL}\cdot \frac{AL}{AD}= 1}\ \ \ ,(1)$

Αλλά, ισχύει $\boxed{\displaystyle \frac{TD}{TB} = \frac{DL}{LA}}\ \ \ ,(2)$ και $\boxed{\displaystyle \frac{SB}{SL} = \frac{NB}{LM}}\ \ \ ,(3)$ λόγω $LM\parallel NB$ , όπου $N\equiv AB\cap CK$ .

Από $(1),\ (2),\ (3)$ αρκεί να αποδειχθεί ότι $\boxed{\displaystyle \frac{DL}{LA}\cdot \frac{NB}{LM}\cdot \frac{AL}{AD} = 1}$ αρκεί $\boxed{\displaystyle \frac{DL}{AD} = \frac{LM}{NB}}\ \ \ ,(4)$

Η (4)

όμως αληθεύει αφού ισχύει $\boxed{\displaystyle \frac{LM}{NB} = \frac{MZ}{NB} = \frac{CZ}{CB} = \frac{DL}{DA}}$ λόγω του δοσμένου ισοσκελούς τραπεζίου ABCD

, με $AB\parallel LZ\parallel CD$

και ML = MZ

, όπου $Z\equiv BC\cap EF$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

(*) ΘΕΩΡΗΜΑ. Εάν τρία ευθύγραμμα τμήματα συγκλίνουν, τα σημεία τομής των διαγωνίων των τετραπλεύρων που ορίζονται από δύο ζεύγη τμημάτων και το σημείο τομής των απέναντι πλευρών, το διάφορο του σημείου σύγλισης, που ορίζεται από το τρίτο ζεύγος, είναι συνευθειακά και αντιστρόφως.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ(1). Τρία ευθύγραμμα τμήματα λογίζονται ως συγκλίνοντα, εάν οι φορείς των ευθειών τους συντρέχουν και αφήνεται ως άσκηση σε όποιον δεν το έχει ξαναδεί, η απόδειξη του ως άνω θεωρήματος.

#5

Το πρόβλημα αληθεύει και για τυχόν τραπέζιο ABCD

με τυχόντα τα σημεία $L\in AD$ και $Z\in BC$ ώστε να είναι $AB\parallel LZ\parallel CD$ με

το μέσον του

και

τυχόν σημείο επί της ευθείας

.

Η απόδειξη όπως και στα προηγούμενα.

Κώστας Βήττας.

: Συντρέχεια σε εγγεγραμμένο τραπέζιο - Γενίκευση.; f=181_t=73642 (c).PNG (23.75 KiB) Προβλήθηκε 1009 φορές

Συντρέχεια σε εγγεγραμμένο τραπέζιο

Συντρέχεια σε εγγεγραμμένο τραπέζιο

Re: Συντρέχεια σε εγγεγραμμένο τραπέζιο

Re: Συντρέχεια σε εγγεγραμμένο τραπέζιο

Re: Συντρέχεια σε εγγεγραμμένο τραπέζιο

Re: Συντρέχεια σε εγγεγραμμένο τραπέζιο

Μέλη σε σύνδεση