Ενδιαφέρουσα αναλογία εφαπτομενικών τμημάτων

#1

: Ενδιαφέρουσα αναλογία εφαπτομενικών τμημάτων.png (38.31 KiB) Προβλήθηκε 948 φορές

Έστω περιγεγραμμένο σε κύκλο $\left( I \right)$ «τραπέζιο» με $AB\parallel CD$ και ας είναι το σημείο επαφής του $\left( I \right)$ με την πλευρά του

Αν είναι τα σημεία επαφής των εγγεγραμμένων κύκλων $\left( K \right),\left( L \right)$ των τριγώνων $\vartriangle ADF,\vartriangle BCE$ με την πλευρά , με τυχόντα σημεία της αντίστοιχα και το σημείο επαφής του κύκλου $\left( O \right)$ ο οποίος εφάπτεται των με την να δειχτεί ότι: $\dfrac{XT}{XS}=\dfrac{ZC}{ZD}$

Henri van Aubel · #2

Με την καλημέρα μου στον χαρισματικό Στάθη Κούτρα και την καλύτερη γεωμετρική παρέα!

Στο σχήμα του Στάθη.

Είναι A,K,I

και

συνευθειακές τριάδες (απλό). Έχουμε $\displaystyle \angle LIC\equiv \angle BIC=90^\circ$ και $\displaystyle \angle LCI=\frac{\angle C}{2}-\frac{\angle ECB}{2}=\frac{\angle C-\angle ECB}{2}=\angle OCZ,$ άρα $\displaystyle \vartriangle OZC\sim \vartriangle LIC\Rightarrow \frac{CI}{IL}=\frac{ZC}{ZO}:(1)$ . Ομοίως $\displaystyle \angle KID\equiv \angle AID=90^\circ,\angle KDI=\frac{\angle D-\angle ADF}{2}=\angle ODZ,$ άρα $\displaystyle \vartriangle KID\sim \vartriangle OZD\Rightarrow \frac{KI}{ID}=\frac{ZO}{ZD}:(2)$ .
Από $\displaystyle \left ( 1 \right ),\left ( 2 \right )\Rightarrow \frac{KI}{IL}\cdot \frac{IC}{ID}=\frac{ZC}{ZD}:(3)$
Επιπλέον $\displaystyle \frac{XT}{XS}=\frac{XT}{AX}\cdot \frac{XB}{ZS}\cdot \frac{AX}{XB}^{AK||XI,SL||XI}=\frac{KI}{AI}\cdot \frac{BI}{LI}\cdot \frac{AX}{XB}:(4)$

Οπότε από $\left ( 3 \right ),\left ( 4 \right )$ αρκεί να αποδειχθεί ότι $\displaystyle \frac{KI}{LI}\cdot \frac{BI}{XB}\cdot \frac{AX}{AI}=\frac{KI}{LI}\cdot \frac{IC}{ID}\Leftrightarrow \frac{BI}{XB}\cdot \frac{AX}{AI}=\frac{IC}{ID}.$

Αυτό ισχύει, καθώς $\displaystyle \frac{IC}{ID}=\frac{\cos A/2}{\cos B/2}=\frac{BI}{XB}\cdot \frac{AX}{AI}.$

Ενδιαφέρουσα αναλογία εφαπτομενικών τμημάτων

Ενδιαφέρουσα αναλογία εφαπτομενικών τμημάτων

Re: Ενδιαφέρουσα αναλογία εφαπτομενικών τμημάτων

Μέλη σε σύνδεση