Περίεργη συμμετροδιάμεσος

Κυριάκος Τσουρέκας · #1

'Εστω τρίγωνο ABC

και τα τετράγωνα ACUV

και

στο εξωτερικό του. Έστω

το περίκεντρο του τριγώνου ATV

. Να δείξετε ότι η

είναι η Α-συμμετροδιάμεσος του τριγώνου ABC

.

Θα ήθελα μια καθαρόαιμη γεωμετρική λύση σε αυτό το θέμα. (Η τριγωνομετρική είναι αρκετά εύκολη)
Ευχαριστώ

#2

$\bullet$ Έστω το σημείο $L\equiv BC\cap XA$ και ας είναι $K,\ M,\ N,$ τα μέσα των $AT,\ BC,\ AV,$ αντιστοίχως.

Ισχύει $AM\perp TV$ ( γνωστό αποτέλεσμα ) και άρα έχουμε $AM\perp KN\ \ \ ,(1)$ λόγω $KN\parallel TV$ .

Από (1)

και $AC\perp AN\Rightarrow$ $\angle MAC = \angle ANK\ \ \ ,(2)$

: Περίεργη συμμετροδιάμεσος.; f=181 t=72331.PNG (19.37 KiB) Προβλήθηκε 916 φορές

$\bullet$ Από το εγγράψιμο τετράπλευρο ANXK,

λόγω $\angle AKX = 90^{o} = \angle ANX$ , έχουμε $\angle ANK = \angle AXK\ \ \ ,(3)$

Από $KX\parallel AB\Rightarrow$ $\angle BAL = \angle AXK\ \ \ ,(4)$

Από $(2),\ (3),\ (4)\Rightarrow$ $\angle BAL = \angle MAC$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Το ζητούμενο αληθεύει και για όμοια ορθογώνια παραλληλόγραμμα αντί τετραγώνων ( = ειδική περίπτωση με λόγο ομοιότητας λ = 1 ).

Κυριάκος Τσουρέκας · #3

Ευχαριστώ πολύ,

Η λύση που είχα εγώ είναι η εξής:
Εστω E, Z

τα σημεία τομής των AB, AC

με τον περιγεγραμμένο κύκλο του AVT

.
Με κυνήγι γωνιών δείχνουμε ότι $\angle ZAX= \angle ATV$ και $\angle XAE=\angle TVA$ επομένως:

$\displaystyle \frac{\delta (X, AB)}{\delta (X, AC)}= \frac{XA \sin XAE}{XA \sin XAZ}=\frac{\sin TVA}{\sin VTA}=\frac{TA}{AV}=\frac{AB}{AC}$

Αρα το

είναι συμείο της συμμετροδιαμέσου.

Περίεργη συμμετροδιάμεσος

Περίεργη συμμετροδιάμεσος

Re: Περίεργη συμμετροδιάμεσος

Re: Περίεργη συμμετροδιάμεσος

Μέλη σε σύνδεση