Τρίγωνο γνωστής οικογενείας

#1

: Τρίγωνο γνωστής οικογενείας.png (12.45 KiB) Προβλήθηκε 1837 φορές

Σε τρίγωνο ABC

είναι

ενώ τα

είναι μέσα των AB, AC

και

είναι το βαρύκεντρο.

I) Να δείξετε ότι α) $\displaystyle \widehat A \le 60^\circ$ ............ β) Τα σημεία A, M, G, N

είναι ομοκυκλικά.

II) Να εντοπίσετε σημείο

του παραπάνω κύκλου, ώστε τα SB, SA, SC

να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

Γιώργο, νομίζω ότι το 2ο ζητούμενο το έχουμε δει στην παρακάτω δημοσίευση
viewtopic.php?f=22&t=32400

#3

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 14, 2020 8:34 pm
Γιώργο, νομίζω ότι το 2ο ζητούμενο το έχουμε δει στην παρακάτω δημοσίευση
viewtopic.php?f=22&t=32400

Πράγματι, Τηλέμαχε, το ερώτημα Iβ) στο οποίο αναφέρεται η παραπομπή είναι γνωστό και υπήρχε σε διάφορα παλιά βιβλία Γεωμετρίας εκ των οποίων και στο σχολικό (των Βαρουχάκη-Παπαμιχαήλ-Αλιμπινίση-Κοντογιάννη). Μάλιστα ήταν και πολύ δημοφιλές θέμα στις προαγωγικές εξετάσεις της Β' Λυκείου (τουλάχιστον στα λύκεια της περιοχής μου Γλυφάδα-Βούλα). Συνήθιζα να το κάνω στους μαθητές μου πριν τις εξετάσεις μαζί με άλλα επαναληπτικά θέματα. Η γενική εκφώνηση περιείχε αρκετά ερωτήματα (είναι η 8η άσκηση στο συνημμένο).

Στο παρόν τώρα θέμα, αυτό που έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον είναι το ερώτημα (ΙΙ) που στοιχειοθετήθηκε από τον ορισμό του κύκλου στο βοηθητικό ερώτημα (Ιβ). Γι' αυτό και διάλεξα το φάκελο Αρχιμήδη-Seniors και όχι Γεωμετρία Β'.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ.pdf: (230.3 KiB) Μεταφορτώθηκε 65 φορές

#4

Επαναφορά γιατί η άσκηση φαίνεται απαντημένη, ενώ στην ουσία είναι αναπάντητη!

#5

Τελευταία επαναφορά με αλλαγή εκφώνησης για το (II) ερώτημα.

: Τρίγωνο γνωστής οικογενείας.β.png (11.91 KiB) Προβλήθηκε 1586 φορές

Σε τρίγωνο είναι ενώ τα είναι μέσα των και είναι το βαρύκεντρο.

I) Να δείξετε ότι α) $\displaystyle \widehat A \le 60^\circ$ ............ β) Τα σημεία είναι ομοκυκλικά.

II) Η παράλληλη από το στην επανατέμνει τον κύκλο στο Να δείξετε ότι τα τμήματα

είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.

STOPJOHN · #6

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 05, 2021 11:32 am
Τελευταία επαναφορά με αλλαγή εκφώνησης για το (II) ερώτημα. Τρίγωνο γνωστής οικογενείας.β.png
Σε τρίγωνο είναι ενώ τα είναι μέσα των και είναι το βαρύκεντρο.

I) Να δείξετε ότι α) $\displaystyle \widehat A \le 60^\circ$ ............ β) Τα σημεία είναι ομοκυκλικά.

II) Η παράλληλη από το στην επανατέμνει τον κύκλο στο Να δείξετε ότι τα τμήματα

είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.

Kαλημέρα Γιώργο ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ και ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ σε όλους

Θα απαντησω στο ερωτημα II) που είναι και το δυσκολότερο και αν χρειαστεί θα δώσω τη λύση και στα προηγούμενα ερωτήματα

Απο το θεώρημα των διαμέσων στο τρίγωνο $ABC, b^{2}+c^{2}=2\mu _{a}^{2}+\dfrac{a^{2}}{2}\Rightarrow \mu_{a} ^{2}=\dfrac{3a^{2}}{4},$ και ομοίως για τις άλλες διαμέσους
$\mu _{b}^{2}=\dfrac{3c^{2}}{4},\mu _{c}^{2}=\dfrac{3b^{2}}{4},$

Τα τρίγωνα ASN,BGP

είναι όμοια άρα $AS^{2}=\dfrac{4\mu _{b}^{2}}{9a^{2}}\Rightarrow AS^{2\ }=\dfrac{b^{2}c^{2}}{3a^{2}},(*)$

$AS^{2}+SB^{2}=2MS^{2}+\dfrac{c^{2}}{2}\Rightarrow SB^{2}=\dfrac{c^{4}}{3a^{2}},(1), AS^{2}+SC^{2}=2SN^{2}+\dfrac{b^{2}}{2}\Rightarrow SC^{2}=\dfrac{b^{4}}{3a^{2}},(2), (1),(2)\Rightarrow BS^{2}SC^{2}=\dfrac{b^{4}c^{4}}{9a^{4}}\Leftrightarrow SBSC=\dfrac{b^{2}c^{2}}{3a^{2}}$

και απο την $(*)\Rightarrow SA^{2}=SB.SC$

#7

Σ' ευχαριστώ Γιάννη για τη λύση και σου εύχομαι Χρόνια Πολλά για την ονομαστική σου εορτή!

Κι ένα επιπλέον ερώτημα: Να δείξετε ότι το είναι το σημείο Lemoine του τριγώνου

Μιχάλης Τσουρακάκης · #8

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 14, 2020 7:35 pm
Τρίγωνο γνωστής οικογενείας.png
Σε τρίγωνο είναι ενώ τα είναι μέσα των και είναι το βαρύκεντρο.

I) Να δείξετε ότι α) $\displaystyle \widehat A \le 60^\circ$ ............ β) Τα σημεία είναι ομοκυκλικά.

II) Να εντοπίσετε σημείο του παραπάνω κύκλου, ώστε τα να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Αν με το πέρας της λύσης δεν έχετε ακόμα συστηθεί με το σημείο καιρός να το κάνετε

1. $b^2+c^2=2a^2>a^2 \Rightarrow \angle A<90^0$ .Από ν.συνημιτόνου έχουμε

$a^2=b^2+c^2-2bccosa \Rightarrow 2a^2=2(b^2+c^2)-4bccosa \Rightarrow cosA= \dfrac{b^2+c^2}{4bc} \geq \dfrac{2bc}{4bc} = \dfrac{1}{2}$

Άρα $cosA\leq cos60^0$ κι επειδή στο πρώτο τεταρτημόριο η συνάρτηση cosx

είναι γνήσια φθίνουσα ,έχουμε $\angle A \leq 60^0$

2.Είναι , $4BN^2=2(a^2+c^2)-b^2= 3c^2 \Rightarrow BN^2= \dfrac{3c^2}{4}$ και $BG . BN= \dfrac{2}{3} BN^2= \dfrac{c^2}{2}=BM . BA \Rightarrow M,A,N,G$ ομοκυκλικά

3.Ομοίως βρίσκουμε $MC^2= \dfrac{3b^2}{4} \Rightarrow 3MG^2= \dfrac{b^2}{4}$

Το MNGS

είναι ισοσκελές τραπέζιο ,άρα όλες οι γωνίες $\theta$ είναι ίσες και NS=GM

Με

μέσον της $CS\Rightarrow NQ=// \dfrac{AS}{2}=//SP \Rightarrow NI//PQ \Rightarrow IS=2PQ=2NS$ και

μέσον της

$NS.NI=3NS^2=3MG^2= \dfrac{b^2}{4}=NC^2 \Rightarrow \angle ACS= \theta$ .

Επιπλέον,από το εγγράψιμμο $ABPN,AIBS \Rightarrow \angle NPC=A= \angle AIP= \angle BSP$ συνεπώς $\angle ABS= \angleSAC=\omega$

Τώρα τα τρίγωνα ABS,ACS

είναι όμοια,άρα $\dfrac{SA}{SC} = \dfrac{SB}{SA} \Rightarrow SA^2=SB.SC$

Λόγω ισότητας των γωνιών $\theta , \omega$ οι AS,BS

είναι συμμετροδιάμεσοι του τριγώνου ABC

άρα

είναι το σημείο Lemoine

: τρίγωνο γνωστής οικογένειας.png (44.05 KiB) Προβλήθηκε 1456 φορές

#9

Σ' ευχαριστώ Μιχάλη για την πλήρη κάλυψη του θέματος

Λίγο διαφορετικά για το σημείο Lemoine.

: Τρίγωνο γνωστής οικογενείας.γ.png (15.8 KiB) Προβλήθηκε 1399 φορές

Έχει ήδη αποδειχθεί ότι $\displaystyle B\widehat AD = P\widehat AC,$ άρα η

είναι η

συμμετροδιάμεσος. Εξάλλου,

$\displaystyle \frac{{AS}}{{SD}} = \frac{{AG}}{{GP}} = 2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2}}},$ οπότε

είναι το σημείο Lemoine του τριγώνου ABC.

Τρίγωνο γνωστής οικογενείας

Τρίγωνο γνωστής οικογενείας

Re: Τρίγωνο γνωστής οικογενείας

Re: Τρίγωνο γνωστής οικογενείας

Re: Τρίγωνο γνωστής οικογενείας

Re: Τρίγωνο γνωστής οικογενείας

Re: Τρίγωνο γνωστής οικογενείας

Re: Τρίγωνο γνωστής οικογενείας

Re: Τρίγωνο γνωστής οικογενείας

Re: Τρίγωνο γνωστής οικογενείας

Μέλη σε σύνδεση