Δύσκολο , δυσκολότερο , δυσκολότατο

KARKAR · #1

: `Δύσκολο,δυσκολότερο,δυσκολότατο.png (14.69 KiB) Προβλήθηκε 1005 φορές

Τα μήκη των πλευρών του παραλληλογράμμου ABCD

είναι

και

και του μικρού ύψους

.

Οι διχοτόμοι των γωνιών $\hat{A}$ και $\hat{B}$ , τέμνονται στο σημείο

. Το

είναι σημείο της

,

ώστε : SB<SA

. Οι

τέμνουν τις DS,CS

στα σημεία K,L

αντίστοιχα , ενώ

η

τέμνει την προέκταση της

στο

. Α) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{TA}{TB}$

Β) Αν SB=2

, υπολογίστε το μήκος του τμήματος

Γ) Βρείτε τη θέση του

, ώστε : $TS\perp KL$ . Απαντήστε σε όποιο ερώτημα θέλετε !

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 30, 2018 9:00 pm
`Δύσκολο,δυσκολότερο,δυσκολότατο.pngΤα μήκη των πλευρών του παραλληλογράμμου είναι και και του μικρού ύψους .

Οι διχοτόμοι των γωνιών $\hat{A}$ και $\hat{B}$ , τέμνονται στο σημείο . Το είναι σημείο της ,

ώστε : . Οι τέμνουν τις στα σημεία αντίστοιχα , ενώ

η τέμνει την προέκταση της στο . Α) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{TA}{TB}$

Β) Αν , υπολογίστε το μήκος του τμήματος

Γ) Βρείτε τη θέση του , ώστε : $TS\perp KL$ . Απαντήστε σε όποιο ερώτημα θέλετε !

Για τα δύο πρώτα ερωτήματα.

: Δύσκολο-οτερο-οτατο.png (17.05 KiB) Προβλήθηκε 931 φορές

Α) $\displaystyle \frac{{TA}}{{TB}} = 2$ ..... B) $BN=\dfrac{14}{5}.$ Η λύση το απογευματάκι.

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης

#3

Για το πρώτο και δεύτερο συμφωνώ με το Γιώργο και αν μια λύση μου είναι εντελώς διαφορετική θα την ανεβάσω.

Για το τρίτο πήρα σύστημα συντεταγμένων ( ενδείκνυται λόγω αριθμητικών δεδομένων )

Βρίσκω εύκολα : $\left\{ \begin{gathered} K\left( {\frac{{8s}}{{s + 5}},\frac{{4s}}{{s + 5}}} \right) \hfill \\ L\left( {\frac{{2(44 - 3s)}}{{13 - s}},\frac{{4(8 - 3s)}}{{13 - s}}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ (Λύση γραμμικών συστημάτων)

: Δύσκολο _Δυσκολότερο _Δυσκολότατο_3_εντάξει.png (30.71 KiB) Προβλήθηκε 897 φορές

και από το εσωτερικό γινόμενο $\overrightarrow {KL} \cdot \overrightarrow {TS} = 0$ έχω :

$\boxed{AS = s = \sqrt[3]{{\frac{{2\sqrt {2833402413} }}{{225}} - \frac{{42461}}{{115}}}} - \sqrt[3]{{\frac{{2\sqrt {2833402413} }}{{225}} + \frac{{42461}}{{115}}}} + \frac{{49}}{5} \simeq 5,577937577}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 30, 2018 9:00 pm
`Δύσκολο,δυσκολότερο,δυσκολότατο.pngΤα μήκη των πλευρών του παραλληλογράμμου είναι και και του μικρού ύψους .

Οι διχοτόμοι των γωνιών $\hat{A}$ και $\hat{B}$ , τέμνονται στο σημείο . Το είναι σημείο της ,

ώστε : . Οι τέμνουν τις στα σημεία αντίστοιχα , ενώ

η τέμνει την προέκταση της στο . Α) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{TA}{TB}$

Β) Αν , υπολογίστε το μήκος του τμήματος

: Δύσκολο-οτερο-οτατο.png (17.05 KiB) Προβλήθηκε 876 φορές

Α) $\displaystyle \tan 2\theta = \frac{4}{3} \Leftrightarrow \frac{{2\tan \theta }}{{1 - {{\tan }^2}\theta }} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow \tan \theta = \frac{{TB}}{{TA}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{TA}{TB}=2}$

B) Εδώ φοβάμαι ότι έχω πάρει δύσκολο δρόμο.
Ο Μενέλαος στο ATB

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {KLN}$ δίνει: $\boxed{\frac{{AK}}{{KT}} \cdot \frac{{TL}}{{LB}} \cdot \frac{x}{{x + 8}} = 1}$ (1)

Με Πυθαγόρειο στο TAB

βρίσκω $\displaystyle TB = \frac{{8\sqrt 5 }}{5},TA = \frac{{16\sqrt 5 }}{5}$ και με τον τύπο της διχοτόμου στο DAS,

$\displaystyle AK = \frac{{24\sqrt 5 }}{{11}},$ άρα $\displaystyle KT = \frac{{56\sqrt 5 }}{{55}}$ και $\boxed{\frac{{AK}}{{KT}} = \frac{{15}}{7}}$ (2)

Νόμος συνημιτόνου στο DSC:

$\displaystyle C{S^2} = 25 + 64 - 80\cos 2\theta \Leftrightarrow CS = \sqrt {41}$ και με τον τύπο της διχοτόμου

στο SBC,

$\displaystyle LB = \frac{{4\sqrt 5 }}{7},$ απ' όπου $\displaystyle \frac{{TL}}{{LB}} = \frac{{TB - LB}}{{LB}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{TL}}{{LB}} = \frac{9}{5}}$ (3)

Από

και

παίρνω $\boxed{x=\frac{14}{5}}$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 30, 2018 9:00 pm
`Δύσκολο,δυσκολότερο,δυσκολότατο.pngΤα μήκη των πλευρών του παραλληλογράμμου είναι και και του μικρού ύψους .

Οι διχοτόμοι των γωνιών $\hat{A}$ και $\hat{B}$ , τέμνονται στο σημείο . Το είναι σημείο της ,

ώστε : . Οι τέμνουν τις στα σημεία αντίστοιχα , ενώ

η τέμνει την προέκταση της στο . Α) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{TA}{TB}$

Β) Αν , υπολογίστε το μήκος του τμήματος

Γ) Βρείτε τη θέση του , ώστε : $TS\perp KL$ . Απαντήστε σε όποιο ερώτημα θέλετε !

Για το πρώτο :

: Δύσκολο _Δυσκολότερο _Δυσκολότατο_1.png (16.16 KiB) Προβλήθηκε 862 φορές

Αν η ευθεία

κόψει την

στο

θα είναι $DG = DA = 5 \Rightarrow GC = 3$ .

Επίσης οι διχοτόμοι των εντός και επί τα αυτά γωνιών είναι κάθετοι αφού αυτές είναι παραπληρωματικές . Δηλαδή $AT \bot TB$ .

Τα τρίγωνα $CGB\,\,\kappa \alpha \iota \,AHD$ έχουν δύο πλευρές ίσες

( $CB = AD = 5\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CG = AH = 3$ ) και $\widehat {HAD} = \widehat {GCB}$ , συνεπώς είναι ίσα , οπότε $BG \bot GC$ .

Τώρα προφανώς $\boxed{\frac{{TA}}{{TB}} = \frac{{BA}}{{BG}} = \frac{8}{4} = 2}$

Για το δεύτερο

: Δύσκολο _Δυσκολότερο _Δυσκολότατο_2.png (24.8 KiB) Προβλήθηκε 858 φορές

Ας είναι

το σημείο τομής της

με την

. Επειδή στο τρίγωνο SDC

οι λόγοι $\dfrac{{SK}}{{KD}} = \dfrac{6}{5}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\dfrac{{CL}}{{LS}} = \dfrac{5}{2}$ ( Θ. διχοτόμων)

αν εφαρμόσω Θ. Μενελάου με διατέμνουσα $\overline {LKQ}$ θα προκύψει DQ = 4

.

Μετά από την ομοιότητα των τριγώνων : $KSN\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,KDQ$ έχω :

$\boxed{\dfrac{{x + 2}}{4} = \dfrac{6}{5} \Leftrightarrow x = \dfrac{{14}}{5}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 30, 2018 9:00 pm
`Δύσκολο,δυσκολότερο,δυσκολότατο.pngΤα μήκη των πλευρών του παραλληλογράμμου είναι και και του μικρού ύψους .

Οι διχοτόμοι των γωνιών $\hat{A}$ και $\hat{B}$ , τέμνονται στο σημείο . Το είναι σημείο της ,

ώστε : . Οι τέμνουν τις στα σημεία αντίστοιχα , ενώ

η τέμνει την προέκταση της στο . Α) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{TA}{TB}$

Β) Αν , υπολογίστε το μήκος του τμήματος

Γ) Βρείτε τη θέση του , ώστε : $TS\perp KL$ . Απαντήστε σε όποιο ερώτημα θέλετε !

Αλλιώς τα δυο πρώτα...Για το τρίτο..αργότερα

1.Αν $\displaystyle AT \cap BC = P$ τότε $\displaystyle AD = DP = 5 \Rightarrow PC = 3 = //AH \Rightarrow \angle DCH = \theta \Rightarrow \vartriangle HDC \simeq \vartriangle ATB$

Άρα $\displaystyle \boxed{\frac{{TA}}{{TB}} = \frac{{DC}}{{DH}} = \frac{8}{4} = 2}$

2.Από θ.διχοτόμου έχουμε $\displaystyle \frac{{CL}}{{LS}} = \frac{5}{2}$ και $\displaystyle \frac{{DK}}{{KS}} = \frac{5}{6}$ οπότε $\displaystyle \frac{{CL}}{{LS}} = \frac{{8 + y}}{{x + 2}} = \frac{5}{2} \Rightarrow \boxed{y = \frac{{5x - 6}}{2}}$

$\displaystyle \frac{{FD}}{{SN}} = \frac{{DK}}{{KS}} = \frac{5}{6} \Rightarrow \frac{{\frac{{5x - 6}}{2}}}{{x + 2}} = \frac{5}{6} \Rightarrow \boxed{x = BN = \frac{{14}}{5}}$

Όσο έγραφα έκανε ανάρτηση ο Νίκος (που τώρα είδα) με λύση σχεδόν ίδια με τη δική μου. Την αφήνω

: Δύσκολο....png (23.51 KiB) Προβλήθηκε 846 φορές

KARKAR · #7

: Δύσκολο κ.λ.π..png (14.96 KiB) Προβλήθηκε 816 φορές

Τι θα έκανα χωρίς εσάς

Απολογία για το τρίτο ερώτημα : Πειραματιζόμενος , διεπίστωσα ότι :

HS=2.577937

( κατά Φραγκάκη AS=5.77937

) , ενώ $TB=\dfrac{8\sqrt{5}}{5}=3.577708$ .

Δηλαδή : $HS\simeq TB-1$

Βλέπετε πόσο είναι η γωνία $\hat{N}$ ; Δεν τη λες κι ορθή αλλά ...

Ο πειρασμός να θέσω το ερώτημα στα τυφλά απεδείχθη ανυπέρβλητος . Ελπίζω οι "δικαστές"

να είναι επιεικείς και να συγχωρήσουν αυτή την "κλοπή" του 0,00319

της μοίρας

Δύσκολο , δυσκολότερο , δυσκολότατο

Δύσκολο , δυσκολότερο , δυσκολότατο

Re: Δύσκολο , δυσκολότερο , δυσκολότατο

Re: Δύσκολο , δυσκολότερο , δυσκολότατο

Re: Δύσκολο , δυσκολότερο , δυσκολότατο

Re: Δύσκολο , δυσκολότερο , δυσκολότατο

Re: Δύσκολο , δυσκολότερο , δυσκολότατο

Re: Δύσκολο , δυσκολότερο , δυσκολότατο

Μέλη σε σύνδεση