Μικροελλείψεις

KARKAR · #1

: μικροελλείψεις.png (23.98 KiB) Προβλήθηκε 1314 φορές

Έχουμε σχεδιάσει τις ελλείψεις $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$ και $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{9y^2}{16}=1$ . Τρίγωνο SE'E

έχει ως κορυφές κινητό σημείο

της μεγάλης έλλειψης και τις δύο εστίες της έλλειψης .

Δείξτε ότι ο γεωμετρικός τόπος του εγκέντρου

του τριγώνου είναι η μικρή έλλειψη .

#2

KARKAR έγραψε:μικροελλείψεις.pngΈχουμε σχεδιάσει τις ελλείψεις $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$ και $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{9y^2}{16}=1$ . Τρίγωνο

έχει ως κορυφές κινητό σημείο της μεγάλης έλλειψης και τις δύο εστίες της έλλειψης .

Δείξτε ότι ο γεωμετρικός τόπος του εγκέντρου του τριγώνου είναι η μικρή έλλειψη .

Χωρίς τις πράξεις στο τέλος επειδή είναι επίπονες αλλά ρουτίνα.

Από έτοιμους τύπους βλέπουμε ότι η εκκεντρότητα της εξωτερικής έλλειψης είναι e=3/5

, από όπου οι εστίες είναι $E'(-3,0), \, E(3,0)$ .

Το τυπικό σημείο στην εξωτερική έλλειψη είναι $\displaystyle{S \left ( \frac {10t}{1+t^2}, \, \frac {3(1-t^2)}{1+t^2} \right )}$ , όπου $-1\le t \le 1$ . Εύκολα βρίσκουμε συναρτήσει του

τις διχοτόμους των $SE'E, \, SEE'$ (υπάρχει έτοιμος τύπος) και άρα του σημείου τομής των

. Τέλος ελέγχουμε ότι οι συντεταγμένες που βρήκαμε (ρητή συνάρτηση) ικανοποιούν την εξίσωση της εσωτερικής έλλειψης, και μάλιστα την διατρέχουν.

#3

Αξίζει να εξεταστούν όλες οι περιπτώσεις των χαρακτηριστικών σημείων του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$
όπου τα σημεία $\displaystyle{B,C}$ είναι σταθερά και το σημείο $\displaystyle{A}$ να κινείται σε έλλειψη με εστίες τα
$\displaystyle{B,C}$ . Στην περίπτωση των τεσσάρων σημείων $\displaystyle{I,I_a,I_b,I_c}$ οι γεωμετρικοί τόποι φαίνονται
στο κατωτέρω σχήμα και είναι αντίστοιχα η κόκκινη έλλειψη, η πράσινη καθώς και οι δύο γαλάζιες
εφατόμενες ευθείες στα άκρα της αρχικής έλλειψης.

: Μικροελλείψεις 1.PNG (44.38 KiB) Προβλήθηκε 1252 φορές

Κώστας Δόρτσιος

Μικροελλείψεις

Μικροελλείψεις

Re: Μικροελλείψεις

Re: Μικροελλείψεις

Μέλη σε σύνδεση