Πάνω στον περίκυκλο

#1

: Συντρέχουσες ευθείες.png (22.43 KiB) Προβλήθηκε 1495 φορές

Έστω

τα ύψη οξυγώνιου τριγώνου ABC

,

το ορθόκεντρο και

το μέσο του

. Οι περίκυκλοι των

τριγώνων AHB, MED

τέμνονται στα σημεία P, Q

(το

στο ίδιο μέρος με το

ως προς την

). Να δείξετε ότι

οι ευθείες ED, PH, MQ

τέμνονται πάνω στον περίκυκλο του ABC.

#2

george visvikis έγραψε:Έστω τα ύψη οξυγώνιου τριγώνου , το ορθόκεντρο και το μέσο του . Οι περίκυκλοι των τριγώνων τέμνονται στα σημεία (το στο ίδιο μέρος με το ως προς την ). Να δείξετε ότι οι ευθείες τέμνονται πάνω στον περίκυκλο του

$\bullet$ Έστω $S\equiv ED\cap \left( O \right)$ (με $\left( O \right)$ τον περίκυκλο του τριγώνου $\vartriangle ABC$ ) εκατέρωθεν του ως προς την και ας είναι τα σημεία τομής των

με τον περίκυκλο $\left( K \right)$ του τριγώνου $\vartriangle AHB$ αντίστοιχα (με μεταξύ και $P\ne H$ ) . Αρκεί να δείξουμε ισοδύναμα ότι είναι σημεία του μεσόκυκλου $\left( N \right)$

(κύκλος του Euler) του τριγώνου $\vartriangle ABC$ . Έστω τα σημεία τομής των με τους κύκλους $\left( O \right),\left( K \right)$ αντίστοιχα (με $L\ne S,X\ne Q$ ).
[attachment=3]Πάνω στον περίκυκλο..png[/attachment]
$\bullet$ Είναι $\angle BPS \equiv \angle BPH\mathop = \limits^{A,P,H,B\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha \,(\sigma \eta \mu \varepsilon \iota \alpha \,\,\tau o\upsilon \,\,\left( K \right))}$ $\angle BAH \equiv \angle BAD\mathop = \limits^{A,B,D,E\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha \,\,(\angle AEB = \angle ADB = {{90}^0})}$

$\angle BED \equiv \angle BES \Rightarrow B,P,E,S$ ομοκυκλικά, άρα $\boxed{\left( {HS} \right) \cdot \left( {HP} \right) = \left( {HB} \right) \cdot \left( {HE} \right)\mathop = \limits^{B,Z,E,C\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha \,\,(\angle BZC = \angle BEC = 90{}^0)} \left( {HC} \right) \cdot \left( {HZ} \right)}$ :(1).

Αν $F\equiv CZ\cap \left( O \right),F\ne C$ τότε για τις τεμνόμενες στο χορδές του $\left( O \right)$ θα ισχύει: $\left( {HS} \right) \cdot \left( {HL} \right) = \left( {HC} \right) \cdot \left( {HF} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{HZ = ZF\,\,(\gamma \nu \omega \sigma \tau \eta \,\,\pi \rho o\tau \alpha \sigma \eta )}$

$\left( {HS} \right) \cdot \left( {HL} \right) = 2\left( {HC} \right) \cdot \left( {H{\rm Z}} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)}$ $\left( {HS} \right) \cdot \left( {HL} \right) = 2\left( {HS} \right) \cdot \left( {HP} \right) \Rightarrow$ $\left( {HL} \right) = 2\left( {HP} \right) \Rightarrow P$ το μέσο της .

$\bullet$ Είναι γνωστό ότι ο μεσόκυκλος $\left( N \right)$ του $\vartriangle ABC$ έχει κέντρο το μέσο του (το τμήμα που συνδέει το ορθόκεντρο με το βαρύκεντρο του τριγώνου $\vartriangle ABC$ ) και ακτίνα ${R_N} = \dfrac{{{R_O}}}{2}$ .

Στο τρίγωνο $\vartriangle HOL\mathop \Rightarrow \limits^{N,P\,\,\mu \varepsilon \sigma \alpha \,\,\tau \omega \nu \,\,HO,HL} \left( {NP} \right) = \dfrac{{\left( {OL} \right)}}{2}$ $= \dfrac{{{R_0}}}{2} \Rightarrow \boxed{P \in \left( N \right)}:\left( 2 \right)$ .
[attachment=2]Πάνω στον περίκυκλο..png[/attachment]
$\bullet$ Το μέσο της κοινής χορδής των ίσων κύκλων $\left( O \right),\left( K \right)$ (τα αποτελούν ορθοκεντρική τετράδα και ως γνωστό οι περίκυκλοι των τεσσάρων τριγώνων κάθε ορθοκεντρικής τετράδας είναι ίσοι)

είναι κέντρο συμμετρίας τους και έτσι ισχύει: $\boxed{\left( {SX} \right) = 2\left( {SM} \right)}:\left( 3 \right)$ . Για τις τεμνόμενες στο χορδές του $\left( K \right)$ ισχύει:

$\left( {SQ} \right) \cdot \left( {SX} \right) = \left( {SH} \right) \cdot \left( {SP} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right),Y\,\,\mu \varepsilon \sigma o\,\,\tau \eta \varsigma \,\,SH}$ $2\left( {SQ} \right) \cdot \left( {SM} \right) = 2\left( {SY} \right) \cdot \left( {SP} \right) \Rightarrow$ $\left( {SQ} \right) \cdot \left( {SM} \right) = \left( {SY} \right) \cdot \left( {SP} \right) \Rightarrow$

ομοκυκλικά.

$\bullet$ Από το τρίγωνο $\vartriangle HSO\mathop \Rightarrow \limits^{Y,N\,\,\mu \varepsilon \sigma \alpha \,\,\tau \omega \nu \,\,HS,HO} \left( {NY} \right) =$ $\dfrac{{\left( {OS} \right)}}{2} = \dfrac{{{R_O}}}{2} \Rightarrow Y \in \left( N \right)$ .

Έτσι έχουμε: $\left\{ \begin{gathered} P \in \left( N \right) \\ Y \in \left( N \right) \\ M \in \left( N \right) \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{M,P,Y,Q\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \boxed{Q \in \left( N \right)}:\left( 4 \right)$ . Από $\left( 2 \right),\left( 4 \right)$ το ισοδύναμο πρόβλημα έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Την πιο πάνω λύση αφιερώνω με ΤΕΡΑΣΤΙΑ ΑΓΑΠΗ στις δύο Ζωίτσες μου που μου γέμισαν και μου γεμίζουν τη ζωή μου. Τη «Γιαγιά» και την ΕΓΓΟΝΗ μου

Henri van Aubel · #3

Μετά την συγκινητική λύση και αφιέρωση του Στάθη, βάζω και μία λύση που σκέφτηκα όταν το πρωτοείδα. Να χαίρεσαι την οικογένειά σου και το εγγόνι σου Στάθη!!

Υπέροχη άσκηση και πάρα πολύ συγκινητικές οι εικόνες του Στάθη!!!

Θεωρώ ότι η προσέγγισή μου είναι αρκετά διδακτική για παιδιά που συμμετέχουν σε διαγωνισμούς και είναι πρωτόπειροι.

Έστω $PH\cap ED=S$ τότε $\angle BPS=\angle BAH=\angle BES$ άρα BPES

εγγράψιμο οπότε $PH\cdot HS=BH\cdot HE=AH\cdot HD$ άρα και ASDP

εγγράψιμο οπότε είναι $\angle BSE=180^\circ-\angle BPE\&\angle ASE=180^\circ-\angle APD.$
Συνεπώς $\angle BSA=\angle APD-\angle BPE=\angle APB-\angle DPE=\angle AHB-\angle DME=\angle C$ οπότε ABSC

εγγράψιμο. (*)
Στην συνέχεια παρατηρούμε ότι η αντιστροφή πόλου

και ακτίνας

διατηρεί σταθερά τα σημεία A,B,D,E

και ο κύκλος $\left ( MED \right )$ γίνεται η ευθεία ED.

Επιπλέον έστω $MH\cap \left ( ABC \right )=K$ η τομή της ημιευθείας

με τον κύκλο $\left ( ABC \right )$ τότε είναι απλό ότι $MH\cdot MK=MA^{2}$ οπότε ο κύκλος $\left ( AHB \right )$ γίνεται ο κύκλος $\left ( AKB \right )$ και συνεπώς η εικόνα του

θα είναι η τομή της ημιευθείας

με τον κύκλο $\left ( AKB \right )$ δηλαδή το

Σωνεπώς τα σημεία M,Q,S

είναι συνευθειακά.

Υ.Σ Γενικά, κρατήστε το αυτό : Όταν ακούτε ''δύο κύκλοι τέμνονται σε δύο σημεία '', τότε το μυαλό σας πηγαίνει αβίαστα στην αντιστροφή που μετασχηματίζει τον έναν εκ των δύο κύκλων σε ευθεία.

Πάνω στον περίκυκλο

Πάνω στον περίκυκλο

Re: Πάνω στον περίκυκλο

Re: Πάνω στον περίκυκλο

Μέλη σε σύνδεση