Περίκεντρο τριγώνου από τετράγωνα

giannimani · #1

Σε τρίγωνο ABC

η γωνία $B = 45^{\circ}$ . Στις πλευρές

και

και εξωτερικά του τριγώνου ABC

κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ABDE

και

. Το σημείο

είναι το μέσο του

.
Να αποδείξετε ότι το

είναι το περίκεντρο του τριγώνου ABC

.

: perikentro.png (23.54 KiB) Προβλήθηκε 1492 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

giannimani έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 11, 2023 10:12 am
Σε τρίγωνο η γωνία $B = 45^{\circ}$ . Στις πλευρές και και εξωτερικά του τριγώνου
κατασκευάζουμε τα τετράγωνα και . Το σημείο είναι το μέσο του .
Να αποδείξετε ότι το είναι το περίκεντρο του τριγώνου .
perikentro.png

Με $EK,GL,AS \bot BC \Rightarrow \triangle EKB= \triangle ABS$ και $\triangle CGL= \triangle ASC$ άρα KE=BS

και

Για τη διάμεσο

του τραπεζίου KEGL

έχουμε $MZ= \dfrac{EK+GL}{2}= \dfrac{BS+SC}{2}= \dfrac{BC}{2}$

Επειδή KB=CL=AS

θα είναι

και το τρίγωνο MBC

είναι ορθογώνιο ισοσκελές

Με $BI \bot AC \Rightarrow B,M,I,C$ ομοκυκλικά άρα $\angle MIB=\angle MCB=45^0 \Rightarrow HMI$

μεσοκάθετη της

,συνεπώς

περίκεντρο του τριγώνου ABC

: περίκεντρο τριγώνου...png (17.65 KiB) Προβλήθηκε 1455 φορές

STOPJOHN · #3

giannimani έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 11, 2023 10:12 am
Σε τρίγωνο η γωνία $B = 45^{\circ}$ . Στις πλευρές και και εξωτερικά του τριγώνου
κατασκευάζουμε τα τετράγωνα και . Το σημείο είναι το μέσο του .
Να αποδείξετε ότι το είναι το περίκεντρο του τριγώνου .
perikentro.png

Στο τρίγωνο $EBG,EK=KB,BL=LG\Rightarrow KL//\dfrac{1}{2}EG\Rightarrow KL=EM,KL=MG$

Συνεπώς εχουμε τα παραλληλόγραμμα KLME,KMGL,

Ομως $\hat{BLG}=90,KM//BL\Rightarrow KJM\perp AB,AK=KB\Rightarrow AJ=JB,AM=MB$

Ομοίως $B\Pi =\Pi C,MB=MC$

Αρα AM=MB=MC

#4

giannimani έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 11, 2023 10:12 am
Σε τρίγωνο η γωνία $B = 45^{\circ}$ . Στις πλευρές και και εξωτερικά του τριγώνου
κατασκευάζουμε τα τετράγωνα και . Το σημείο είναι το μέσο του .
Να αποδείξετε ότι το είναι το περίκεντρο του τριγώνου .
perikentro.png

: Περίκεντρο.ΓΜ.png (28.96 KiB) Προβλήθηκε 1405 φορές

Οι

τέμνονται σε σημείο

κι επειδή $B\widehat AS=A\widehat CS=90^\circ,$ η

είναι διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του

ABC.

Προφανώς όμως τα σημεία D, B, G

είναι συνευθειακά, όπως και τα F, B, E.

Άρα το

είναι παραλληλόγραμμο κι

επειδή οι διαγώνιοι διχοτομούνται, το

θα είναι μέσο της διαμέτρου, δηλαδή περίκεντρο του ABC.

Henri van Aubel · #5

Λύνεται και με τρεις εφαρμογές του θ. διαμέσων και Πυθαγόρειο . Πρόκληση : Βρείτε τη λύση που λέω !

Παρεπιπτόντως, θα την έβαζα σε Θαλή -Ευκλειδη Seniors .

Henri van Aubel · #6

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 11, 2023 5:33 pm

giannimani έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 11, 2023 10:12 am
Σε τρίγωνο η γωνία $B = 45^{\circ}$ . Στις πλευρές και και εξωτερικά του τριγώνου
κατασκευάζουμε τα τετράγωνα και . Το σημείο είναι το μέσο του .
Να αποδείξετε ότι το είναι το περίκεντρο του τριγώνου .
perikentro.png
Περίκεντρο.ΓΜ.png
Οι τέμνονται σε σημείο κι επειδή $B\widehat AS=A\widehat CS=90^\circ,$ η είναι διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του

Προφανώς όμως τα σημεία είναι συνευθειακά, όπως και τα Άρα το είναι παραλληλόγραμμο κι

επειδή οι διαγώνιοι διχοτομούνται, το θα είναι μέσο της διαμέτρου, δηλαδή περίκεντρο του

giannimani · #7

Η στροφή κέντρου

και γωνίας $90^{\circ}$ (θετικής φοράς) μεταφέρει το σημείο

στο σημείο

.
Η στροφή κέντρου

και γωνίας $90^{\circ}$ (θετικής φοράς) μεταφέρει το σημείο

στο σημείο

.
Επομένως, η σύνθεση των δύο παραπάνω στροφών μεταφέρει το σημείο

στο σημείο

.

: perikentrosol.png (38.58 KiB) Προβλήθηκε 1340 φορές

Σύμφωνα όμως με τη θεωρία του μετασχηματισμού της στροφής, η γωνία της σύνθεσης είναι $90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$ ,
και το κέντρο της είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων $\ell_{2}$ και $\ell_{1}$ των ευθυγράμμων τμημάτων CC'

και

αντίστοιχα, όπου

το σημείο στο οποίο μεταφέρεται το

με τη σύνθεση, και A''

το σημείο που μεταφέρεται στο

με τη σύνθεση. Είναι φανερό ότι η $\ell_{1}$ διέρχεται από το

και $\angle \ell_{1}CA=\frac{1}{2}90^{\circ}=45^{\circ}$ , και η $\ell_{2}$ διέρχεται από το

και
$\angle CA\ell_{2}=\frac{1}{2}90^{\circ}=45^{\circ}$ ,
Σύμφωνα με τα παραπάνω το κέντρο

της σύνθεσης συμπίπτει με το μέσο

του

(η σύνθεση είναι κεντρική συμμετρία),
και το τρίγωνο MAC

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, και εφόσον $\angle ABC=\angle AA''C=45^{\circ}$ ,
τα σημεία

,

και

ανήκουν στον κύκλο κέντρου

και ακτίνας MA=MC=MB

.

Περίκεντρο τριγώνου από τετράγωνα

Περίκεντρο τριγώνου από τετράγωνα

Re: Περίκεντρο τριγώνου από τετράγωνα

Re: Περίκεντρο τριγώνου από τετράγωνα

Re: Περίκεντρο τριγώνου από τετράγωνα

Re: Περίκεντρο τριγώνου από τετράγωνα

Re: Περίκεντρο τριγώνου από τετράγωνα

Re: Περίκεντρο τριγώνου από τετράγωνα

Μέλη σε σύνδεση