Μετρική από τομές ...

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4770
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Μετρική από τομές ...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Νοέμ 02, 2021 2:01 pm

Μετρική τριγώνου από τομή.png
Μετρική τριγώνου από τομή.png (16.75 KiB) Προβλήθηκε 1121 φορές
Έστω τρίγωνο \vartriangle ABC και D,E τα κοινά σημεία επαφής του περίκυκλού του από τις εφαπτόμενες που διέρχονται από τυχόν σημείο {X}' της προέκτασης της CB ς προς το B . Να δειχτεί ότι αν Z είναι το σημείο τομής των DE , AC θα ισχύει : {{a}^{2}}\cdot \dfrac{ZA}{ZC}+{{b}^{2}}\cdot \dfrac{XB}{XC}={{c}^{2}} , όπου a,b,c τα μήκη των πλευρών του τριγώνου \vartriangle ABC με τους συνήθης συμβολισμούς

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Λέξεις Κλειδιά:
Τυχόν-τρίγωνο
εφαπτόμενες
μετρική-σχέση
τομές
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14747
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μετρική από τομές ...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Νοέμ 02, 2021 7:54 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 02, 2021 2:01 pm
 Μετρική τριγώνου από τομή.png
Έστω τρίγωνο \vartriangle ABC και D,E τα κοινά σημεία επαφής του περίκυκλού του από τις εφαπτόμενες που διέρχονται από τυχόν σημείο {X}' της προέκτασης της CB ς προς το B . Να δειχτεί ότι αν Z είναι το σημείο τομής των DE , AC θα ισχύει : {{a}^{2}}\cdot \dfrac{ZA}{ZC}+{{b}^{2}}\cdot \dfrac{XB}{XC}={{c}^{2}} , όπου a,b,c τα μήκη των πλευρών του τριγώνου \vartriangle ABC με τους συνήθης συμβολισμούς

Στάθης
Καλησπέρα Στάθη!

Ίδια αντιμετώπιση με αυτήν . Αύριο η πλήρης λύση, αν δεν έχει απαντηθεί μέχρι τότε.


Κορυφή
thepigod762
Δημοσιεύσεις: 94
Εγγραφή: Σάβ Οκτ 23, 2021 1:02 am
Τοποθεσία: Λάρισα

Re: Μετρική από τομές ...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thepigod762 » Τρί Νοέμ 02, 2021 11:48 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 02, 2021 7:54 pm
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 02, 2021 2:01 pm
 Μετρική τριγώνου από τομή.png
Έστω τρίγωνο \vartriangle ABC και D,E τα κοινά σημεία επαφής του περίκυκλού του από τις εφαπτόμενες που διέρχονται από τυχόν σημείο {X}' της προέκτασης της CB ς προς το B . Να δειχτεί ότι αν Z είναι το σημείο τομής των DE , AC θα ισχύει : {{a}^{2}}\cdot \dfrac{ZA}{ZC}+{{b}^{2}}\cdot \dfrac{XB}{XC}={{c}^{2}} , όπου a,b,c τα μήκη των πλευρών του τριγώνου \vartriangle ABC με τους συνήθης συμβολισμούς

Στάθης
Καλησπέρα Στάθη!

Ίδια αντιμετώπιση με αυτήν . Αύριο η πλήρης λύση, αν δεν έχει απαντηθεί μέχρι τότε.
Κρύβω επειδή δεν παραθέτω απάντηση, απλά κ. Γιώργο νομίζω πως εφαρμόζοντας τα βήματα με βάση αυτήν, δηλαδή λαμβάνοντας υπόψιν την ισότητα XD^{2}=XE^{2}=XB\cdot XC και χρησιμοποιώντας νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο ZXC, με \cos C=\frac{c^{2}-a^{2}-b^{2}}{2ab}, από το τρίγωνο ABC, και θεώρημα Steward στο τρίγωνο ZXE καταλήγουμε στην σχέση
XZ^{2}\cdot DE+XB\cdot XC\cdot ZD=XB\cdot XC\cdot ZE+ZD\cdot DE\cdot ZE\Rightarrow XC^{2}+ZC^{2}+2\cdot XC\cdot ZC\cdot \left \frac{c^{2}-a^{2}-b^{2}}{2ab} \right =XB\cdot XC+ZA\cdot ZC\Rightarrow c^{2}=a^{2}+b^{2}+\frac{(XB-XC)XC+(ZA-ZC)}{XC\cdot ZC}ab
,το οποίο γίνεται c^{2}=a^{2}+b^{2}+(\frac{XB-XC}{ZC}+\frac{ZA-ZC}{XC})ab
,που δεν ισοδυναμεί απαραίτητα με το ζητούμενο... Τι κάνω λάθος ή τι δεν έχω συμπεριλάβει;
τελευταία επεξεργασία από thepigod762 σε Τετ Νοέμ 03, 2021 3:12 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Γιώργος Κοτσάλης
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14747
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μετρική από τομές ...

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 03, 2021 9:24 am

thepigod762 έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 02, 2021 11:48 pm
george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 02, 2021 7:54 pm
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 02, 2021 2:01 pm
 Μετρική τριγώνου από τομή.png
Έστω τρίγωνο \vartriangle ABC και D,E τα κοινά σημεία επαφής του περίκυκλού του από τις εφαπτόμενες που διέρχονται από τυχόν σημείο {X}' της προέκτασης της CB ς προς το B . Να δειχτεί ότι αν Z είναι το σημείο τομής των DE , AC θα ισχύει : {{a}^{2}}\cdot \dfrac{ZA}{ZC}+{{b}^{2}}\cdot \dfrac{XB}{XC}={{c}^{2}} , όπου a,b,c τα μήκη των πλευρών του τριγώνου \vartriangle ABC με τους συνήθης συμβολισμούς

Στάθης
Καλησπέρα Στάθη!

Ίδια αντιμετώπιση με αυτήν . Αύριο η πλήρης λύση, αν δεν έχει απαντηθεί μέχρι τότε.
Κρύβω επειδή δεν παραθέτω απάντηση, απλά κ. Γιώργο νομίζω πως εφαρμόζοντας τα βήματα με βάση αυτήν, δηλαδή λαμβάνοντας υπόψιν την ισότητα XD^{2}=XE^{2}=XB\cdot XC και χρησιμοποιώντας νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο ZXC, με \cos C=\frac{a^{2}-c^{2}-b^{2}}{2ab}, από το τρίγωνο ABC, και θεώρημα Steward στο τρίγωνο ZXE καταλήγουμε στην σχέση
XZ^{2}\cdot DE+XB\cdot XC\cdot ZD=XB\cdot XC\cdot ZE+ZD\cdot DE\cdot ZE\Rightarrow XC^{2}+ZC^{2}+2\cdot XC\cdot ZC\cdot \left \frac{c^{2}-a^{2}-b^{2}}{2ab} \right =XB\cdot XC+ZA\cdot ZC\Rightarrow c^{2}=a^{2}+b^{2}+\frac{(XB-XC)XC+(ZA-ZC)}{XC\cdot ZC}ab
,το οποίο γίνεται c^{2}=a^{2}+b^{2}+(\frac{XB-XC}{ZC}+\frac{ZA-ZC}{XC})ab
,που δεν ισοδυναμεί απαραίτητα με το ζητούμενο... Τι κάνω λάθος ή τι δεν έχω συμπεριλάβει;
Δεν έχεις κάνει λάθος (εκτός από τυπογραφικό στον τύπο του συνημιτόνου. Στην εφαρμογή του όμως είναι σωστό). Απλώς δεν το έχεις συνεχίσει. XB-XC=-a, ZA-ZC=-b.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14747
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μετρική από τομές ...

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 03, 2021 10:30 am

Θέτω XB=x, ZA=y και η αποδεικτέα σχέση γράφεται \displaystyle {a^2} \cdot \frac{y}{{b + y}} + {b^2} \cdot \frac{x}{{a + x}} = {c^2}
ΣΚ.2.png
ΣΚ.2.png (13.86 KiB) Προβλήθηκε 953 φορές
Όπως και εδώ είναι \displaystyle X{D^2} = X{E^2} = x(x + a), με νόμο συνημιτόνου στο ZXC παίρνω

\displaystyle X{Z^2} = {(a + x)^2} + {(b + y)^2} - (a + x)(b + y) \cdot \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{ab}} και με Stewart στο ZXE

\displaystyle X{Z^2} \cdot DE + x(x + a)ZD = x(x + a)ZE + ZD \cdot ZE \cdot DE \Leftrightarrow

\displaystyle X{Z^2} \cdot DE = x(x + a)DE + y(b + y)DE \Leftrightarrow X{Z^2} = {x^2} + {y^2} + ax + by


Τέλος με αντικατάσταση καταλήγω στην εξίσωση \displaystyle {a^2} + {b^2} - \left( {\frac{{{a^2}b}}{{b + y}} + \frac{{a{b^2}}}{{a + x}}} \right) = {c^2} \Leftrightarrow \boxed{{a^2} \cdot \frac{y}{{b + y}} + {b^2} \cdot \frac{x}{{a + x}} = {c^2}}


ΥΓ.Όποιος μου ζητήσει τις ενδιάμεσες πράξεις, ευχαρίστως να τις γράψω.


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες