Συνευθειακότητα Vittasko

#1

Μια παραλλαγή πρότασης του Vittasko (υποθέτω ότι γνωρίζετε οι περισσότεροι τον Κώστα , ένας από τους μεγαλύτερες γεωμέτρες του κόσμου όλων των εποχών!!!!). Κλεμμένο θέμα λοιπόν (δεν γνωρίζω αν ο Κώστας το έχει βάλει κάποτε στο mathematica)

: Συνευθειακότητα Vittasko.png (42.95 KiB) Προβλήθηκε 1563 φορές

Έστω $\displaystyle{ABED,BCQF,CATS}$ τυχόντα ορθογώνια εξωτερικά του τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ .
Να δειχθεί ότι τα σημεία $\displaystyle{K \equiv AC \cap QD,L \equiv CB \cap SE,M \equiv AB \cap TF}$ είναι συνευθειακά

Στάθης

min## · #2

Καλό,αν και όσους περισσότερους βαθμούς ελευθερίας έχει το πρόβλημα,τόσο πιο "εύκολη" γίνεται μια λύση με moving points

.
Μια άλλη λύση:
Ονομάζουμε $X\equiv DQ\cap FT,Y\equiv ES\cap FT,Z\equiv ES\cap DQ$ .
Ας είναι

η προβολή του

στην

,

του

στην

και

του

στην

.
Τότε

εγγράψιμα εξάγωνα.
Από ριζικούς άξονες λοιπόν,οι AA',BB',CC'

συντρέχουν στο ριζικό κέντρο των τριών κύκλων,έστω

.
Έτσι τα ABC,XYZ

είναι ορθολογικά.
Δείχνουμε ότι τα 2 ορθολογικά κέντρα ταυτίζονται και έχουμε τελειώσει (*μορφή του Sondat

που αποδεικνύεται με πολικές ή και moving points),καθώς τότε θα είναι και προοπτικά.
Αρκεί δηλαδή νδο

κάθετη στην

ή

παράλληλες.
Προφανώς XB'RC'

εγγράψιμο.
Από Reim's

στους

και τις

έπεται η παραλληλία και το πρόβλημα.

Σημ.Μπορώ να βάλω αν είναι απόδειξη για την *.

Xriiiiistos · #3

$EB\cap SC\equiv X,BF\cap AT\equiv Z,CQ\cap AD\equiv Y$

Λόγο καθέτων A,Z,B,X,C,Y

ομοκυκλικά με X,Y,Z

τα αντιδιαμετρικά των A,B,C

αντίστοιχα. Οπότε XZ= //AC=//TS

άρα

όμοια

Από μενέλαο στα τρίγωνα XBC,YCA,ZAB

με διατέμνουσες τις ευθείες LES,KDG,MFT

παίρνουμε

$\dfrac{LB}{LC}=\dfrac{EB}{EX}\cdot \dfrac{SX}{SC}$

$\dfrac{KC}{KA}=\dfrac{DY}{DA}\cdot \dfrac{QC}{QY}$

$\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{TA}{TZ}\cdot \dfrac{FZ}{FB}$

πολλαπλασιάζοντές τες

$\dfrac{LB}{LC}\cdot \dfrac{KC}{KA}\cdot \dfrac{MA}{MB}=\dfrac{EB}{DA}\cdot \dfrac{TA}{SC}\cdot \dfrac{QC}{FB}\cdot \dfrac{SX}{TZ}\cdot \dfrac{DY}{EX}\cdot \dfrac{FZ}{QY}=1$

Άρα από μενέλαο στο τρίγωνο ABC

έχουμε

συνευθειακά

Συνευθειακότητα Vittasko

Συνευθειακότητα Vittasko

Re: Συνευθειακότητα Vittasko

Re: Συνευθειακότητα Vittasko

Μέλη σε σύνδεση