Συγκεκριμένη καθετότητα

#1

: 10.png (35.67 KiB) Προβλήθηκε 1280 φορές

Έστω τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με $\angle B={{60}^{0}},\angle C={{40}^{0}}$ και σημεία στο εξωτερικό αυτού ώστε $\angle KAC={{50}^{0}},\angle KCA={{30}^{0}}$ και $\angle LAB={{30}^{0}},\angle LBA={{40}^{0}}$ να δειχθεί ότι $AS\bot BC$ , όπου το σημείο τομής των εκ των καθέτων στις αντίστοιχα.

Στάθης

S.E.Louridas · #2

Καλημέρα.

Ας καταθέσω την ημέτερη διαπραγμάτευση για το θέμα του Υπεράριστου Στάθη Κουτρα.

Εντός του τριγώνου θεωρούμε σημείο

τέτοιο που $\angle CBL’ = {20^ \circ },\;\,\angle L’CB = {10^ \circ }.$
Έστω

το σημείο τομής της ημιευθείας BL’

με τη πλευρά AC.

O περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο ABN

τέμνει την πλευρά

στο σημείο

.
Τότε $\angle TNC = {60^ \circ } \Rightarrow NT \bot L’C,$ αφού $\angle ACL' = {30^ \circ }.$ Άρα και επειδή $\angle CL’N = \angle BNA - {30^ \circ } = {60^ \circ } - {30^ \circ } = {30^ \circ }=\angle NCL',$ η

θα είναι μεσοκάθετη στο ευθύγραμμο τμήμα L’C

.
Άρα $L’T = TC \Rightarrow \angle L’TB = {20^ \circ } = \angle TBL’$ δηλαδή L'B = L'T

και επειδή το τρίγωνο ABT

είναι ισόπλευρο, οπότε AB=AT

, προκύπτει $AL’ \bot BT.$
Λόγω του μονοσήμαντου του

παίρνουμε $L’ \equiv S,$ καθότι τα συμμετρικά του

ως προς τις πλευρές AB, AC

είναι προφανώς τα L, K

αντίστοιχα.

: ας34ε.png (13.02 KiB) Προβλήθηκε 1209 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 26, 2017 12:31 am
συγκεκριμένη καθετότητα.pngΈστω τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με $\angle B={{60}^{0}},\angle C={{40}^{0}}$ και σημεία στο εξωτερικό αυτού ώστε $\angle KAC={{50}^{0}},\angle KCA={{30}^{0}}$ και $\angle LAB={{30}^{0}},\angle LBA={{40}^{0}}$ να δειχθεί ότι $AS\bot BC$ , όπου το σημείο τομής των εκ των καθέτων στις αντίστοιχα.

Στάθης

Έστω $\displaystyle LS \cap BC = N$ και $\displaystyle KS \cap BC = Q$ .

Επειδή $\displaystyle \angle ALN = \angle ABN = {60^0}$ το $\displaystyle ALBN$ είναι εγγράψιμο,άρα $\displaystyle \angle LAN = {80^0}$ και $\displaystyle \angle ANL = {40^0}$

οπότε και $\displaystyle ASNK$ .Όμως και $\displaystyle AISJ$ εγγράψιμο,οπότε $\displaystyle \angle x = \angle y = \angle \omega$

Επειδή $\displaystyle AKCQ$ εγγράψιμο $\displaystyle \Rightarrow \angle AQK = {30^0}$ ‘όπως και $\displaystyle \angle NAC = {30^0}$

$\displaystyle \vartriangle AQK \simeq \vartriangle ANC \Rightarrow \frac{{AK}}{{NC}} = \frac{{KQ}}{{AC}} \Rightarrow AK = \frac{{KQ \cdot NC}}{{AC}}(1)$ και $\displaystyle \vartriangle ALN \simeq \vartriangle AQC \Rightarrow \frac{{AQ}}{{AL}} = \frac{{AC}}{{AN}} \Rightarrow AL = \frac{{AQ \cdot AN}}{{AC}}(2)$

Αλλά $\displaystyle \vartriangle KAQ \simeq \vartriangle ANC \Rightarrow \frac{{KQ}}{{AQ}} = \frac{{AN}}{{NC}} \Rightarrow KQ \cdot NC = AQ \cdot AN$

Έτσι,από $\displaystyle (1)$ , $\displaystyle (2)$ $\displaystyle \Rightarrow \boxed{AL = AK}$ $\displaystyle \Rightarrow \vartriangle ALN = \vartriangle AKN \Rightarrow \angle x = {40^0} \Rightarrow \angle \omega = {40^0} \Rightarrow IJCB$ εγγράψιμο

Άρα $\displaystyle AI \cdot AB = AJ \cdot AC \Rightarrow \boxed{\frac{{AI}}{{AC}} = \frac{{AJ}}{{AB}}}$ και σύμφωνα με το θεώρημα Στάθη Κούτρα $\displaystyle AS \bot BC$

: s.k.png (23.66 KiB) Προβλήθηκε 1144 φορές

Συγκεκριμένη καθετότητα

Συγκεκριμένη καθετότητα

Re: Συγκεκριμένη καθετότητα

Re: Συγκεκριμένη καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση