Καθετότητα από τις Συρακούσες

#1

: Καθετότητα από τις Συρακούσες.png (16.39 KiB) Προβλήθηκε 849 φορές

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC

με

Η μεσοκάθετος του

τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στα P, Q

το

σημείο του τόξου $\overset\frown {AB}).$ Αν

είναι το μέσο του

και ο κύκλος που διέρχεται από τα B, N, C

επανατέμνει

την

στο

να δείξετε ότι $PM\bot AB.$

Henri van Aubel · #2

Καλημέρα! Δίνω μία λύση.

Έχουμε :

$\displaystyle \angle AMC=\angle QNC$ από το εγγράψιμο BCNM

$\displaystyle \angle CAM=\angle NQC$ από το εγγράψιμο ABCQ

Από αυτά τα δύο παίρνουμε:

$\displaystyle \vartriangle AMC\sim \vartriangle NQC:\frac{AM}{NQ}=\frac{2AM}{BQ}=\frac{AC}{QC}: (1)$

Επίσης λόγω μεσοκαθέτου έχουμε:

$\displaystyle PA=PC\Rightarrow \angle PAC=90^\circ-\frac{\angle APC}{2}=90^\circ-\frac{\angle ABC}{2}=90^\circ-\angle QAC$

Οπότε $\angle PAQ=90^\circ$

Οπότε έχουμε:

$\displaystyle \frac{AP}{PQ}=\cos \left ( \angle APQ \right )=\cos \left ( \angle ACQ \right )=\frac{\displaystyle\frac{1}{2}AC}{QC}\Leftrightarrow \frac{2AP}{PQ}=\frac{AC}{QC}: (2)$

Από $\displaystyle (1),(2)$ προκύπτει ότι:

$\displaystyle \frac{2AP}{PQ}=\frac{2AM}{BQ}\Leftrightarrow \frac{AM}{AP}=\frac{BQ}{PQ}: (3)$

Επιπλέον:

$\angle PAM=\angle PQB: (4)$

Οπότε από $\displaystyle (3),(4)$ προκύπτει ότι $\vartriangle APM\sim \vartriangle PBQ,$ άρα $\boxed {\angle AMP=\angle PBQ=90^\circ}$

abfx · #3

Μία ακόμη.

Προεκτείνουμε την

κατά ίσο τμήμα NS=MN

.

Η

είναι διχοτόμος της $\hat{ABC}$ , οπότε $\hat{MBN}=\hat{NBC} \implies \hat{MCN}=\hat{NMC}$ και άρα MN=NC=NS

.

Έτσι, θα έχουμε $\hat{MCS}=90^{o}$ (1) .Επιπλέον

διάμετρος οπότε $\hat{PCQ}=90^{o}$ (2).

(1) και (2) $\implies \hat{PCM}=\hat{QCS}$ (3).

Τώρα είναι $\hat{SMC}=\hat{NBC}=\hat{QBC}=\hat{QPC}$ , οπότε τα ορθογώνια τρίγωνα

PCQ

και

είναι όμοια, συνεπώς $\displaystyle \frac{MC}{PC}=\frac{SC}{QC}$ , το οποίο

μαζί με (3) δίνει $PCM\sim QCS$ .

Τέλος, εκμεταλλευόμενοι την παραλληλία $MB\parallel QS$ ,

εύκολα βρίσκουμε ότι $\hat{CSQ}=90^{o}+\hat{MBC}+\hat{MCB}=90^{o}+\hat{AMC}=\hat{PMC}$ , που δίνει

το ζητούμενο $\hat{PMA}=90^{o}$ .

Καθετότητα από τις Συρακούσες

Καθετότητα από τις Συρακούσες

Re: Καθετότητα από τις Συρακούσες

Re: Καθετότητα από τις Συρακούσες

Μέλη σε σύνδεση