Συνευθειακά

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #1

Καλημέρα,μια ιδιοκατασκευή:

Έστω τρίγωνο ABC

εγγεγραμμένο σε κύκλο (O)

.Ο εγγεγραμμένος κύκλος του ABC

εφάπτεται στις BC,AC,AB

στα

αντίστοιχα.Έστω A_1

το μέσο του τόξου

του

που δεν περιέχει το

.Έστω επίσης $A_1A'\cap (O)\equiv A_2$ και $B'C'\cap AA_2\equiv A_3$ .
Ομοίως ορίζουμε τα B_3,C_3

.
Να δειχθεί ότι τα σημεία A_3,B_3,C_3

είναι συνευθειακά.

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ · #2

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 01, 2020 11:30 am
Καλημέρα,μια ιδιοκατασκευή:

Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο .Ο εγγεγραμμένος κύκλος του εφάπτεται στις στα αντίστοιχα.Έστω το μέσο του τόξου του που δεν περιέχει το .Έστω επίσης $A_1A'\cap (O)\equiv A_2$ και $B'C'\cap AA_2\equiv A_3$ .
Ομοίως ορίζουμε τα .
Να δειχθεί ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.

Καλημέρα Πρόδρομε!

Από το λήμμα 1 του Κ.Βήττα εδώ https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... 81&t=55939(ίσως ψάξω για μια διαφορετική απόδειξη απο αυτή του κ.Σιλουανού ,αν και πιστεύω ότι η χρήση της αντιστροφής είναι ό,τι πρέπει ) έχουμε ότι $\angle{IA_{2}A}=90^{0}$
. Οπότε πλέον είναι προφανές ότι τα σημεία $(A,A_{2},C’,I,B’)$ ομοκυκλικά σε κύκλο $(O_{1})$
Άρα παίρνοντας τη δύναμη του σημείου $A_{3}$ ως προς τον $(O_{1})$ είναι
$A_{3}A_{2} \cdot A_{3}A=A_{3}C’ \cdot A_{3}B’$
Άρα το σημείο $A_{3}$ έχει ίσες δυνάμεις ως προς τους κύκλους (O) , (I)

, συνεπώς ανήκει στον ριζικό τους άξονα.
Εντελώς όμοια έχουμε ότι και τα σημεία $B _{3} , C_{3}$ ανήκουν στον ριζικό άξονα των κύκλων (O) , (I)

και άρα το ζητούμενο έπεται.
Απλώς να παρατηρήσω ότι η

είναι κάθετη στην ευθεία $A_{3}B_{3}C_{3}$
πράγμα γνωστό αφού η διάκεντρος δύο κύκλων τέμνει καθέτως τον ριζικό τους άξονα.

miltosk · #3

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 01, 2020 11:30 am
Καλημέρα,μια ιδιοκατασκευή:

Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο .Ο εγγεγραμμένος κύκλος του εφάπτεται στις στα αντίστοιχα.Έστω το μέσο του τόξου του που δεν περιέχει το .Έστω επίσης $A_1A'\cap (O)\equiv A_2$ και $B'C'\cap AA_2\equiv A_3$ .
Ομοίως ορίζουμε τα .
Να δειχθεί ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.

Αλλιώς. Κύκλος αναφοράς πάντα ο εγγεγραμμένος για τις πολικές
Έχω ότι το A_3

ανήκει στην πολική του

.
Τώρα από το σύνδεσμο που έχει επισυνάψει ο Δημήτρης ,όπου εδώ υπάρχει και προσέγγιση χωρίς αντιστροφή (https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... =4&t=65219), έχω ότι αν A_4

το ίχνος του ύψους του

στην

τότε

η πολική του A_3

. Ομοίως ορίζω τα B_4, C_4

. Αρκεί λοιπόν AA_4, BB_4, CC_4

να συντρέχουν. Όμως από θεώρημα Nagel, A_4B_4//AB

. Συμπεραίνω ότι τα ABC, A_4B_4C_4

είναι ομοιόθετα και το ζητούμενο έπεται.

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ · #4

Ένα επιπλέον ερώτημα(αν και νομίζω ότι έχει ξανασυζητηθεί στο

)

Στις προεκτάσεις των πλευρών

και

προς το μέρος του

παίρνουμε σημεία $B_{4},C_{4}$ , ώστε $BB_{4}=CC_{4}=BC$ . Να αποδείξετε ότι $A_{3}B_{3}C_{3}//B_{4}C_{4}$ .

Συνευθειακά

Συνευθειακά

Re: Συνευθειακά

Re: Συνευθειακά

Re: Συνευθειακά

Μέλη σε σύνδεση