Ανισότητα και ακολουθία

#1

Έστω $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ μια γνησίως αύξουσα ακολουθία μη αρνητικών πραγματικών αρθμών τέτοια ώστε να ισχύει η ανισότητα

$\displaystyle{ a_n(a_n-2a_{n-1})+a_{n-1}(a_{n-1}-2a_{n-2})\geq 0 }$

για κάθε $n\geq 3$ . Να δειχθεί ότι για κάθε $n\geq 2$ ισχύει η ανισότητα

$\displaystyle{ a_n \geq a_{n-1}+a_{n-2}+\dots+a_1. }$

Φιλικά,

Αχιλλέας

abfx · #2

achilleas έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 18, 2024 9:41 am
Έστω $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ μια γνησίως αύξουσα ακολουθία μη αρνητικών πραγματικών αρθμών τέτοια ώστε να ισχύει η ανισότητα

$\displaystyle{ a_n(a_n-2a_{n-1})+a_{n-1}(a_{n-1}-2a_{n-2})\geq 0 }\text{ }(*)$

για κάθε $n\geq 3$ . Να δειχθεί ότι για κάθε $n\geq 2$ ισχύει η ανισότητα

$\displaystyle{ a_n \geq a_{n-1}+a_{n-2}+\dots+a_1. }$

Παρατηρούμε για αρχή ότι η (*)

είναι ισοδύναμη με $a_n\geq a_{n-1}+\sqrt{2a_{n-1}a_{n-2}}$ , $n\geq 3$ .

Το πάμε επαγωγικά. Για n=2

έχουμε τετριμμένα το ζητούμενο αφού η a_n

αύξουσα.

Για n=3

έχουμε $(*)\implies a_3\geq a_2+\sqrt{2a_2a_1}$ , αλλά $\sqrt{2a_2a_1}\geq a_1$ , οπότε $a_3\geq a_2+a_1$ .

Έστω τώρα $n\geq 3$ ώστε να ισχύει:

$a_{n-1}\geq a_{n-2}+\ldots + a_1\text{ } (1)$

$a_{n}\geq a_{n-1}+\ldots + a_1\text{ } (2)$

Εξετάζουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις:

Αν $a_n\leq 2a_{n-1}$ , τότε $(*) \implies a_{n+1} \geq a_n+\sqrt{2a_{n}a_{n-1}}\geq a_n+\sqrt{a_{n}a_{n}}=2a_n\stackrel{(2)}{\geq} a_n+a_{n-1}+\ldots + a_1$

Αν $2a_{n-1} <a_n$ , τότε $(*) \implies a_{n+1} \geq a_n+\sqrt{2a_{n}a_{n-1}}\geq a_n+\sqrt{(2a_{n-1})(2a_{n-1})}=$
$=a_n+2a_{n-1}\stackrel{(1)}{\geq} a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+ \ldots + a_1$

Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι σε κάθε περίπτωση $a_{n+1} \geq a_n+\ldots + a_1$ , επομένως το ζητούμενο έπεται από επαγωγή.

Ανισότητα και ακολουθία

Ανισότητα και ακολουθία

Re: Ανισότητα και ακολουθία

Μέλη σε σύνδεση