Συναρτησιακή στο R

Batapan · #1

Αναρτώ μια συναρτησιακή που σκέφτηκα πριν καιρό και την είχα ανεβασει στο AoPS , απλώς για όποιον δεν την έχει δει και θα ήθελε να ασχοληθεί !

Βρείτε όλες τις $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύει

$\displaystyle{xyf(x-y)+yf(y)=x^2f(y)-yf(xy)+y^2}$

για κάθε $y \in \mathbb{R}$ και $x \in \mathbb{R^*}$ ( $x \neq 0$ )

abfx · #2

Ας ονομάσουμε P(x,y)

τη δοσμένη σχέση για $(x,y)\in\mathbb{R}^{*}\times\mathbb{R}$ .

Έχουμε:

: $f(0)=0 \text{ }(1)$

: $f(1)=1\text{ }(2)$

: $f(-1)=-1\text{ }(3)$

.

Από : $xf(x-1)=x^2-f(x)\text{ },x\neq 0\text{ }(4)$

Από : $-xf(-x+1)=x^2-f(x)\text{ },x\neq 0\text{ }(5)$

Συνδυάζοντας (4),(5)

και απλοποιώντας παίρνουμε:
$f(x-1)=-f(-x+1)\text{ },x\neq 0\implies f(x)=-f(-x)\text{ },x\neq 1$ , αλλά και f(1)=-f(-1)

οπότε τελικά:
$f(x)=-f(-x) , \forall x \in \mathbb{R}\text{ }(6)$ .

: $xf(x)-f(x^2)=f(x)-x , \forall x\neq 0\text{ }(7)$

: , οπότε κάνοντας χρήση της , έχουμε: $f(x^2)-xf(x)=f(x)-x , \forall x\neq 0\text{ }(8)$ .

Από

παίρνουμε εύκολα $f(x)=x , \forall x \neq 0$ οπότε μαζί με (1)

έχουμε ότι $f(x)=x , x\in\mathbb{R}$ , η οποία εύκολα επαληθεύει την P(x,y)

και άρα είναι η μοναδική λύση.

Batapan · #3

Ωραία! Ευχαριστώ για την παραπάνω λύση! Βάζω και την ιδέα που είχα κατα νού...

όπως παραπάνω f(0)=0, f(1)=1 , f(-1)=-1

και

περιττή

$P(x,\frac{1}{x}):f(x-\frac{1}{x})+\frac{f(\frac{1}{x})}{x}=x^2f(\frac{1}{x})-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2} \overset{x\rightarrow \frac{1}{x}}{\implies}f(\frac{1}{x}-x)+xf(x)=\frac{f(x)}{x^2}-x+x^2$

αλλα , αφού

περιττή, $f(\frac{1}{x}-x)=-f(x-\frac{1}{x})=\frac{f(\frac{1}{x})}{x}-x^2f(\frac{1}{x})+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$

Συνδυάζοντας τις

τελευταίες, έχουμε
$f(x)(\frac{1}{x^2}-x)-x+x^2=f(\frac{1}{x})(\frac{1}{x}-x^2)+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$

$\overset{\cdot x^2}{\implies} (x^3-1)f(x)+x^3-x^4=f(\frac{1}{x})\cdot x(x^3-1)-x+1$

$\implies (x^3-1)(f(x)-xf(\frac{1}{x}))=x^4-x^3-x+1 \implies f(x)-xf(\frac{1}{x})=x-1$

Για $x \rightarrow -x$ , $-f(x)-xf(\frac{1}{x})=-x-1 \implies f(x)+xf(\frac{1}{x})=x+1$

Προσθέτωντας τις

τελευταίες παίρνουμε f(x)=x

για κάθε $x \neq 0$ , και σε συνδυασμό με την f(0)=0

, είναι

για κάθε

Συναρτησιακή στο R

Συναρτησιακή στο R

Re: Συναρτησιακή στο R

Re: Συναρτησιακή στο R

Μέλη σε σύνδεση