Εύρεση τριάδων

∫ot.T. · #1

Να βρεθούν όλες οι τριάδες πραγματικών αριθμών (x,y,z) τέτοιες που να ισχύουν οι παρακάτω εξισώσεις.

$\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}-y^{2}}+\frac{y^{3}-z^{3}}{y^{2}-z^{2}}+\frac{z^{3}-x^{3}}{z^{2}-x^{2}}=3$

xy+yz+zx=0

Henri van Aubel · #2

∫ot.T. έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 13, 2023 12:08 pm
Να βρεθούν όλες οι τριάδες πραγματικών αριθμών (x,y,z) τέτοιες που να ισχύουν οι παρακάτω εξισώσεις.

$\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}-y^{2}}+\frac{y^{3}-z^{3}}{y^{2}-z^{2}}+\frac{z^{3}-x^{3}}{z^{2}-x^{2}}=3$

Έχουμε $\displaystyle \frac{x^{2}+y^{2}+xy}{x+y}+\frac{y^{2}+z^{2}+yz}{y+z}+\frac{x^{2}+z^{2}+zx}{x+z}=3 \Longleftrightarrow$

$\displaystyle \Longleftrightarrow \frac{\left ( x+y \right )^{2}+z\left ( x+y \right )}{x+y}+\frac{\left ( y+z \right )^{2}+x\left ( y+z \right )}{y+z}+\frac{\left ( x+z \right )^{2}+y\left ( x+z \right )}{x+z}=3$

Για να ορίζονται οι σχέσεις πρεπει $x+y,y+z,x+z\neq 0$ και έχουμε $3\left ( x+y+z \right )=3\Longleftrightarrow x+y+z=1$

Οπότε τελικά $x^{2}+y^{2}+z^{2}=\left ( x+y+z \right )^{2}-2\left ( xy+yz+zx \right )=1$

Συνεπώς είναι $x^{2}+y^{2}+\left ( 1-x-y \right )^{2}=1\Longleftrightarrow \left ( x+y \right )^{2}-2\left ( x+y \right )+x^{2}+y^{2}=0\Longleftrightarrow$

$\Longleftrightarrow \boxed{x^{2}+y^{2}+xy-x-y=0}\left ( I \right )$

Νομίζω δύσκολα συνεχίζεται αυτό.

Μήπως ισχύει και κάτι άλλο ;

Εννοώ ότι δεν μπορούμε να βρούμε αριθμητικές τιμές.

∫ot.T. · #3

Δεν θα βρεθούν αριθμητικές τιμές. Οι τριάδες θα έχουν έναν γενικό τύπο με μία μεταβλητή, η οποία θα πέρνει ορισμένες τιμές. Αν θέσουμε z=t τότε οι τριάδες θα είναι της μορφής (x,y,z)=(f(t),g(t),t).

Henri van Aubel · #4

∫ot.T. έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 13, 2023 2:13 pm
Δεν θα βρεθούν αριθμητικές τιμές. Οι τριάδες θα έχουν έναν γενικό τύπο με μία μεταβλητή, η οποία θα πέρνει ορισμένες τιμές. Αν θέσουμε z=t τότε οι τριάδες θα είναι της μορφής (x,y,z)=(f(t),g(t),t).

Ακριβώς αυτό!

Επανέρχομαι με την απάντηση σε λίγο.

Henri van Aubel · #5

Συνεχίζοντας την σχέση $\left ( I \right )$ θα έχουμε $y^{2}+y\left ( x-1 \right )+\left ( x^{2}-x \right )=0$ και έστω x=t.

Οπότε $D=\left ( x-1 \right )^{2}-4\left ( x^{2}-x \right )=-3x^{2}+2x+1$ η οποία θα πρέπει να είναι $\geqslant 0$ και $\boxed{y_{1}=\frac{1-t+\sqrt{-3t^{2}+2t+1}}{2}}and \boxed{y_{2}=\frac{1-t-\sqrt{-3t^{2}+2t+1}}{2}}$

Οπότε οι τριάδες είναι: $\displaystyle \left ( x,y,z \right )=\left ( t,\frac{1-t+\sqrt{-3t^{2}+2t+1}}{2},1-t-\frac{1-t+\sqrt{-3t^{2}+2t+1}}{2} \right )$

και $\displaystyle \left ( x,y,z \right )=\left ( t,\frac{1-t-\sqrt{-3t^{2}+2t+1}}{2},1-t-\frac{1-t-\sqrt{-3t^{2}+2t+1}}{2} \right ).$

Σημ. πρέπει $-3x^{2}+2x+1\geqslant 0$

Εύρεση τριάδων

Εύρεση τριάδων

Re: Εύρεση τριάδων

Re: Εύρεση τριάδων

Re: Εύρεση τριάδων

Re: Εύρεση τριάδων

Μέλη σε σύνδεση