Διπλή ανισότητα

Συντονιστές: emouroukos, achilleas, silouan

Απάντηση

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 2 δημοσιεύσεις • Σελίδα 1 από 1

achilleas: Γενικός Συντονιστής; Δημοσιεύσεις: 3064; Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Διπλή ανισότητα

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Πέμ Μαρ 03, 2022 9:20 pm

Έστω πραγματικοί αριθμοί a,b,c,d

τέτοιοι ώστε (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)=16

. Να δειχθεί ότι

$\displaystyle -3\leq ab+ac+ad+bc+bd+cd-abcd\leq 5.$

Φιλικά,

Αχιλλέας

Λέξεις Κλειδιά:

διπλή-ανισότητα

matha: Γενικός Συντονιστής; Δημοσιεύσεις: 6428; Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm; Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Διπλή ανισότητα

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Παρ Μαρ 04, 2022 8:21 am

Θεωρούμε το πολυώνυμο

$\displaystyle{f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=x^4-sx^3+px^2-qx+r}$ , όπου $\displaystyle{s=a+b+c+d, p=ab+ac+ad+bc+bd+cd, q=abc+bcd+cda+dab, r=abcd.}$

και παρατηρούμε ότι

$\displaystyle{f(i)f(-i)=16,}$

οπότε $\displaystyle{16=|f(i)|^2=|i^4-si^3+pi^2-qi+r|^2=(1-p+r)^2+(s-p)^2.}$

Επομένως είναι $\displaystyle{(1-p+r)^2\leq 16,}$ που είναι η ζητούμενη.

Μάγκος Θάνος

Απάντηση

2 δημοσιεύσεις • Σελίδα 1 από 1

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης