Διαιρετότητα πολυωνύμων πολλών μεταβλητών

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Θωρούμε τα πολυώνυμα
f(x,y,z)=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2

και

1)Δείξτε ότι το

διαιρεί το πολυώνυμο

(x-y)^n+(y-z)^n+(z-x)^n

όταν το

περιττός αριθμός

2)Βρείτε για ποια

το

διαιρεί το

(x-y)^n+(y-z)^n+(z-x)^n

#2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 09, 2020 9:40 pm
Θωρούμε τα πολυώνυμα

και

1)Δείξτε ότι το διαιρεί το πολυώνυμο

όταν το περιττός αριθμός

Για το 1).

Για n>2

περιττός το (x-y)^n+(y-z)^n+(z-x)^n

μηδενίζεται όταν x=y

(άμεσο). Άρα, κοιτώντας το ως πολυώνυμο του

, είναι

για κάποιο πολυώνυμο

.

Επειδή το αριστερό μέλος ως πολυώνυμο του

μηδενίζεται όταν y=z

, σημαίνει ότι ισχύει το ίδιο για το ίσο του (x-y)p(x,y,z)

, και άρα μηδενίζεται το

. Έπεται ότι p(x,y,z)=(y-z)q(x,y,z)

για κάποιο πολυώνυμο

, δηλαδή

.

Επαναλαμβάνουμε άλλη μία φορά την διαδικασία αλλά αυτή την φορά κοιτώντας το αριστερό μέλος ως πολυώνυμο του

. Καταλήγουμε ότι

(x-y)^n+(y-z)^n+(z-x)^n =(x-y)(y-z)(z-x)r(x,y,z)

.

To ζητούμενο τώρα έπεται αν παρατηρήσουμε ότι

$\displaystyle{(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=3(x-y)(y-z)(z-x)}$

#3

Για το 2 η βασική παρατήρηση είναι ότι $f(x,y,z) = 2(x+\omega y + \omega^2 z)(x+\omega^2 y + \omega z)$ όπου $\omega = e^{2\pi i/3} = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ . (Ο έλεγχος είναι απλός χρησιμοποιώντας το $1 + \omega + \omega^2=0$ καθώς και το $\omega^3=1$ .)

Ας γράψουμε f_n(x,y,z) = (x-y)^n + (y-z)^n + (z-x)^n

. Παρατηρούμε ότι $f_n(-\omega y-\omega^2 z,y,z) = (y-z)^n[\omega^{2n}+1+\omega^n]$ . Επίσης έχουμε και $f_n(-\omega^2 y - \omega z,y,z)=(y-z)^n[\omega^n + 1 + \omega^{2n}]$

Επειδή $1+\omega^n + \omega^{2n} = 0 \iff 3 \nmid n$ (απλό) με τον ίδιο τρόπο που εξήγησε αρκετά αναλυτικά ο Μιχάλης καταλήγουμε ότι το

διαιρεί το f_n

αν και μόνο αν $3 \nmid n$ .

Διαιρετότητα πολυωνύμων πολλών μεταβλητών

Διαιρετότητα πολυωνύμων πολλών μεταβλητών

Re: Διαιρετότητα πολυωνύμων πολλών μεταβλητών

Re: Διαιρετότητα πολυωνύμων πολλών μεταβλητών

Μέλη σε σύνδεση