Συναρτησιακή

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #1

Καλησπέρα!
Μία άσκηση που κατασκεύασα,συγγνώμη αν είναι άστοχη η επιλογή του φακέλου.

Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $\rm f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ για τις οποίες
$\rm f(f(x)-xy))+f(xy)=x$ για κάθε $\rm x,y \in \mathbb{R}$

Λάμπρος Μπαλός · #2

(1)

Η (1) για y=0

:

(2)

Από τη (2) εύκολα προκύπτει ότι η

είναι

και ως συνεχής, θα είναι γνησίως μονότονη.

Η (1) για x=0

: $f(f(0))+f(0)=0 \Leftrightarrow f(f(0))=-f(0) \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(f(f(0)))=f(-f(0))$ (3)

Η (2) για x=f(0)

:

και λόγω της (3) : f(-f(0))=0

(4)

Η (2) για x=2f(0)

: $f(f(2f(0)))=f(0) \Leftrightarrow f(2f(0))=0$ και λόγω της (4)

$f(2f(0))=f(-f(0)) \Leftrightarrow 2f(0)=-f(0) \Leftrightarrow f(0)=0$

Η (2) δίνει : f(f(x)) =x

(5)

Η (1) για x=f(x)

και $y=\frac{y} {f(x)}$ :

f(x-y) +f(y) =f(x)

, για $x \neq 0$ από όπου με όριο του $x \rightarrow 0$ :

f(-y) +f(y) =0

(6)

Αν η

είναι γνησίως αύξουσα
Εστω ότι υπάρχει $a \in R$ τέτοιο, ώστε
$f(a) ><a \Leftrightarrow f(f(a)) ><f(a) \Leftrightarrow a><f(a)$ που είναι άτοπο.
Αρα f(x) =x

.

Αν η

είναι γνησίως φθίνουσα
Εστω ότι υπάρχει $a \in R$ τέτοιο, ώστε
$f(a) ><-a \Leftrightarrow f(f(a)) <>f(-a) \Leftrightarrow f(-a) ><a$ .
Από πρόσθεση κατά μέλη και λόγω της (6) καταλήγουμε σε άτοπο.
Αρα f(x) =-x

.

Τελικά, f(x) =x

,

, $x \in R$ οι οποίες επαληθεύουν.

Συναρτησιακή

Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση