Ανισότητα από Mathematical Inequalities

Ιστοσελίδα · #1

Αν

πραγματικοί αριθμοί ώστε x+y+z =3

, τότε να αποδειχθεί ότι:
$\displaystyle{8 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} +\frac{1}{z} \right) + 9 \geq 10(x^2 + y^2 + z^2 )}$ .

harrisp · #2

polysot έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 15, 2019 12:54 am
Αν πραγματικοί αριθμοί ώστε , τότε να αποδειχθεί ότι:
$\displaystyle{8 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} +\frac{1}{z} \right) + 9 \geq 10(x^2 + y^2 + z^2 )}$ .

Με u,v,w(*) η δοσμένη γίνεται:

$f(w^3)=(60v-81)w^3+24v\geq 0$ που είναι γραμμική ως προς w^3

οπότε αρκεί να ελέγξουμε την ανισότητα όταν δύο μεταβλητές είναι ίσες. Έστω λοιπόν y=z

οπότε

με $y<\frac {3}{2}$ . Αρκεί:

$8[2(3-2y)+y]+9(3-2y)y\geq 10[(3-2y)^2+2y^2](3-2y)y \Leftrightarrow (2y-1)^2\geq 0$ που ισχύει.

Ισότητα αν και μόνον αν $x=2,y=z=\frac {1}{2}$ και για τις κυκλικές της.

(*) 3u=x+y+z,3v=xy+yz+zx,w^3=xyz

dement · #3

Για το πρώτο σκέλος μπορούμε εναλλακτικά να παρατηρήσουμε ότι η συνάρτηση $\displaystyle \frac{8}{x} - 10 x^2$ έχει μοναδικό σημείο καμπής (από κυρτή σε κοίλη) και έτσι η παράσταση ελαχιστοποιείται για ισότητα των δύο μικρότερων από τα x, y, z

.

Ανισότητα από Mathematical Inequalities

Ανισότητα από Mathematical Inequalities

Re: Ανισότητα από Mathematical Inequalities

Re: Ανισότητα από Mathematical Inequalities

Μέλη σε σύνδεση