11η Μαθηματική Ολυμπιάδα BENELUX 2019 Πρόβλημα 1

Ιστοσελίδα · #1

Πρόβλημα 1
α) Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c,d

ώστε $0\leq a,b,c,d \leq 1$ . Να αποδειχθεί ότι:

$ab(a-b) + bc (b-c) + cd (c- d) + da (d-a) \leq \frac{8}{27}$ .

β) Να βρεθούν όλες οι τετράδες πραγματικών αριθμών (a,b,c,d)

, ώστε $0\leq a,b,c,d \leq 1$ για τις οποίες ισχύει η ισότητα στην προηγούμενη ανισότητα.

Xriiiiistos · #2

polysot έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 01, 2019 1:51 am
Πρόβλημα 1
α) Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί ώστε $0\leq a,b,c,d \leq 1$ . Να αποδειχθεί ότι:

$ab(a-b) + bc (b-c) + cd (c- d) + da (d-a) \leq \frac{8}{27}$ .

β) Να βρεθούν όλες οι τετράδες πραγματικών αριθμών , ώστε $0\leq a,b,c,d \leq 1$ για τις οποίες ισχύει η ισότητα στην προηγούμενη ανισότητα.

Η ανίσωση είναι τέτοια ώστε δίχως βλάβη της γενικότητας μπορούμε να θέσουμε $a\geq b,c,d$ και γράφεται $a^{2}(b-d)+b^{2}(c-a)+c^{2}(d-b)+d^{2}(a-c)=...(a-c)(b-d)(a+c-b-d)(i)$

Αν $(b-d),(a+c-b-d)\geq 0$ τότε $\sqrt[3]{(i)}\leq\frac{a-c+b-d+a+c-b-d}{3} =\frac{2a-2d}{3}\leq \frac{2}{3}$

An $(b-d),(a+c-b-d)\leq 0$ τότε $\sqrt[3]{(i)}=\sqrt[3]{(a-c)(d-b)(b+d-a-c)}\leq \frac{2d-2c}{3}\leq \frac{2}{3}$ (όπως και πάνω)

Υψώνοντας στον κύβο τις 2 πάνω παίρνουμε το ζητούμενο

An

έχουν αντίθετους συντελεστές τότε η (i)

είναι αρνητικό που ισχύει όμως δεν θα έχουμε ισότητα

dement · #3

Διαφορετικά:

Υποθέτουμε ότι $a \leq c$ (μπορούμε πάντα να εναλλάξουμε τα a, c

και

).

Το τριώνυμο ως προς

μεγιστοποιείται για $\displaystyle d = \frac{a+c}{2}$ .

Αν $d \geq 1/2$ τότε το τριώνυμο ως προς

μεγιστοποιείται για b=0

και έτσι το τριώνυμο ως προς

μεγιστοποιείται για c=1

. Τέλος, το τριώνυμο ως προς

μεγιστοποιείται για $\displaystyle a = \frac{b+d}{2}$ . Έτσι οδηγούμαστε στη λύση (1/3,0,1,2/3)

.

Από την περίπτωση d < 1/2

και τις περιπτώσεις a > c

οδηγούμαστε στις κυκλικές εναλλαγές. Όλες έχουν άνω φράγμα 8/27

.

Ιστοσελίδα · #4

Και η αρχική μου λύση, παρόμοια με παραπάνω:

Το αριστερό μέλος της αρχικής γράφεται:

$ab(a-b) + bc (b-c) + cd (c- d) + da (d-a) =\\ a^2b - ab^2 + b^2 c - bc^2 + c^2 d - cd^2 +d^2 a -da^2= \\ b^2 (c-a) + c^2 (d-b) +d^2(a-c) +a^2 (b-d)=\\ (c-a)(b^2 - d^2) + (d-b)(c^2 -a^2)=\\ (c-a)(b-d)(b+d-c-a) \leq \text{(από ανισότητα ΑΜ-ΓΜ)}\\ \left(\frac{c-a+b-d+b+d-c-a}{3} \right)^3 =\\ \left(\frac{2b-2a}{3}\right)^3 = \\ (b-a)^3 \frac{8}{27}$

Αν $b<a \Leftrightarrow b-a<0$ άρα η ζητούμενη ισχύει, αφού θα είναι αρνητικός αριθμός.

Αν b>a

τότε θα είναι 0<b-a<1

, αφού

οπότε και πάλι θα ισχύει η ζητούμενη.

11η Μαθηματική Ολυμπιάδα BENELUX 2019 Πρόβλημα 1

11η Μαθηματική Ολυμπιάδα BENELUX 2019 Πρόβλημα 1

Re: 11η Μαθηματική Ολυμπιάδα BENELUX 2019 Πρόβλημα 1

Re: 11η Μαθηματική Ολυμπιάδα BENELUX 2019 Πρόβλημα 1

Re: 11η Μαθηματική Ολυμπιάδα BENELUX 2019 Πρόβλημα 1

Μέλη σε σύνδεση