Σύστημα δύο εξισώσεων και τεσσάρων αγνώστων

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11471
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Σύστημα δύο εξισώσεων και τεσσάρων αγνώστων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιαν 06, 2019 2:15 pm

Να επιλυθεί στους πραγματικούς το σύστημα

\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
x+y+z+w=6\\\\ \sqrt {1-x^2}+  \sqrt {4-y^2}+  \sqrt {9-z^2} +  \sqrt {16-w^2}= 8 
 
\end{matrix}\right.}


(Δεν ξέρω την προέλευσή της. Εμένα μου την έστειλε κάποιος από Ρουμανία, ζητώντας λύση. Έκανα μία πολλή σύντομη.)



Λέξεις Κλειδιά:
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 365
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Σύστημα δύο εξισώσεων και τεσσάρων αγνώστων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Κυρ Ιαν 06, 2019 2:28 pm

Κύριε Μιχάλη καλησπέρα και καλή χρονιά! Έχει πέσει αν θυμάμαι καλά σε κάποιο διαγωνισμό. Είμαι σίγουρος ότι την έχω λύσει με τα παιδιά αλλά δεν θυμάμαι την προελευση της. Αύριο θα προσπαθήσω να την βρω


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2619
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σύστημα δύο εξισώσεων και τεσσάρων αγνώστων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Ιαν 06, 2019 2:52 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Ιαν 06, 2019 2:15 pm
Να επιλυθεί στους πραγματικούς το σύστημα

\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
x+y+z+w=6\\\\ \sqrt {1-x^2}+  \sqrt {4-y^2}+  \sqrt {9-z^2} +  \sqrt {16-w^2}= 8 
 
\end{matrix}\right.}


(Δεν ξέρω την προέλευσή της. Εμένα μου την έστειλε κάποιος από Ρουμανία, ζητώντας λύση. Έκανα μία πολλή σύντομη.)
Ας δούμε μια λύση.

Θέτοντας x=\cos \theta _{1},y=2\cos \theta _{2},z=3\cos \theta _{3},w=4\cos \theta _{4}

με \theta _{i}\in [0,\pi ]

τότε έχουμε

\cos \theta _{1}+2\cos \theta _{2}+3\cos \theta _{3}+4\cos \theta _{4}=6

και

\sin \theta _{1}+2\sin \theta _{2}+3\sin \theta _{3}+4\sin \theta _{4}=8

Αν θέσουμε
z_{i}=\cos \theta _{i}+\sin \theta _{i}

εχουμε ότι

\left | z_{i} \right |=1

και
z_{1}+2z_{2}+3z_{3}+4z_{4}=6+i8

Επειδή \left | 6+8i \right |=10

εχουμε ισότητα στην τριγωνική.

Προκύπτει ότι z_{1}=z_{2}=z_{3}=z_{4}

οπότε

\cos \theta _{1}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}

και αντικαθιστώντας βρίσκουμε

x=\frac{3}{5},y=\frac{6}{5},z=\frac{9}{5},w=\frac{12}{5}


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2619
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σύστημα δύο εξισώσεων και τεσσάρων αγνώστων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Ιαν 06, 2019 2:56 pm

Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
Κυρ Ιαν 06, 2019 2:28 pm
Κύριε Μιχάλη καλησπέρα και καλή χρονιά! Έχει πέσει αν θυμάμαι καλά σε κάποιο διαγωνισμό. Είμαι σίγουρος ότι την έχω λύσει με τα παιδιά αλλά δεν θυμάμαι την προελευση της. Αύριο θα προσπαθήσω να την βρω
Κάπου στην αρχική σελίδα είναι γραμμένο το εξής:

2. Οι απαντήσεις πρέπει να είναι κατά τα δυνατόν πλήρεις να αποφεύγονται οι υποδείξεις και η παράθεση μόνο του αποτελέσματος. Απαντήσεις που έχουν ελλιπή στοιχεία, δίνουν το αποτέλεσμα, περιλαμβάνουν σχόλια για την άσκηση, ενημερωτικές πληροφορίες κτλ χωρίς να παραθέτουν ή να παραπέμπουν στην λύση δημιουργούν σύγχυση και ενδεχομένως αποτρέπουν άλλα μέλη να προσπαθήσουν μία λύση ή να παρουσιάσουν μία λύση που ήδη έχουν ετοιμάσει. Για τους λόγους αυτούς οι τυχόν σχολιασμοί των ασκήσεων καλόν είναι να μπαίνουν αφού δοθεί λύση.


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6170
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Σύστημα δύο εξισώσεων και τεσσάρων αγνώστων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Κυρ Ιαν 06, 2019 5:35 pm

Μια ακόμα λύση:

Λήμμα:

Για πραγματικούς για τους οποίους έχουν νόημα τα παρακάτω, ισχύει

\displaystyle{\sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{c^2-d^2}\leq \sqrt{(a+c)^2-(b+d)^2}.}

Πράγματι, μετα από τις υψώσεις στο τετράγωνο, καταλήγουμε στην \displaystyle{(ac-bd)^2\geq 0.}

Η ισότητα ισχύει αν-ν τα ζεύγη \displaystyle{(a,b),(c,d)} είναι ανάλογα.

Μάλιστα, είναι φανερό επαγωγικά ότι η παραπάνω ανισότητα επεκτείνεται:

\displaystyle{\sqrt{x_1 ^2-y_1 ^2}+\sqrt{x_2 ^2-y_2 ^2}+\cdots +\sqrt{x_n ^2-y_n ^2}\leq \sqrt{(x_1+x_2+\cdots +x_n)^2-(y_1+y_2+\cdots +y_n)^2}.}

Πάλι, η ισότητα ισχύει μόνο αν τα ζεύγη \displaystyle{(x_j,y_j), j=1,2,...,n} είναι ανάλογα.

Πάμε στο σύστημα:

Είναι

\displaystyle{8=\sqrt {1-x^2}+  \sqrt {4-y^2}+  \sqrt {9-z^2} +  \sqrt {16-w^2}=\sqrt {1^2-x^2}+  \sqrt {2^2-y^2}+  \sqrt {3^2-z^2} +  \sqrt {4^2-w^2}\leq }

\displaystyle{\sqrt{(1+2+3+4)^2-(x+y+z+w)^2}=8.}

Άρα ισχύει ως ισότητα, οπότε έχουμε την αναλογία

\displaystyle{\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}=\frac{w}{4}:=k,}

η οποία, από την \displaystyle{x+y+z+w=6,} δίνει \displaystyle{k=\frac{3}{5}.}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8405
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σύστημα δύο εξισώσεων και τεσσάρων αγνώστων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιαν 06, 2019 6:00 pm

Ας το δούμε κι έτσι.
Σύστημα.png
Σύστημα.png (13.16 KiB) Προβλήθηκε 600 φορές
\displaystyle \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3} = \frac{w}{4} = \frac{6}{{10}} κλπ...


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11471
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύστημα δύο εξισώσεων και τεσσάρων αγνώστων

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιαν 06, 2019 6:01 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Ιαν 06, 2019 2:15 pm
Να επιλυθεί στους πραγματικούς το σύστημα

\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
x+y+z+w=6\\\\ \sqrt {1-x^2}+  \sqrt {4-y^2}+  \sqrt {9-z^2} +  \sqrt {16-w^2}= 8 
 
\end{matrix}\right.}
Η δική μου λύση. Κατά βάθος είναι, κρυφά, ουσιαστικά η ίδια με τις τρεις προηγούμενες.

Γράφουμε την συνθήκη ως ισότητα διανυσμάτων:

\displaystyle{( x, \, \sqrt {1-x^2})+ (y, \, \sqrt {4-y^2})+  (z,\, \sqrt {9-z^2}) + (w, \,  \sqrt {16-w^2}) = (6,8)}.

Τα διανύσματα αριστερά έχουν μήκος 1, \, 2 , \, 3, \,4, αντίστοιχα, και το δεξί 10. Παρατηρούμε ότι 1+2+3+4=10, δηλαδή τα διανύσματα αριστερά έχουν συνολικό μήκος όσο το δεξί, που σημαίνει ότι έχουμε περίπτωση ισότητας στην τριγωνική ανισότητα. Έπεται ότι τα διανύσματα είναι συνευθειακά. Τα υπόλοιπα απλά (άλλωστε υπάρχουν και στις τρεις παραπάνω λύσεις).


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5358
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Σύστημα δύο εξισώσεων και τεσσάρων αγνώστων

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Κυρ Ιαν 06, 2019 8:21 pm

Ας δούμε και αυτή τη διαπραγμάτευση:

Από B-C-S (και μετά από τους προφανείς περιορισμούς λόγω υπόρριζων) έχουμε, 64 = {\left( {\sqrt {1 - x} \sqrt {1 + x}  + \sqrt {2 - y} \sqrt {2 + y}  + \sqrt {3 - z} \sqrt {3 + z}  + \sqrt {4 - w} \sqrt {4 + w} } \right)^2} \leqslant \leqslant \left[ {{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^2} + ... + {{\left( {\sqrt {4 - w} } \right)}^2}} \right]\left[ {{{\left( {\sqrt {1 + x} } \right)}^2} + ... + {{\left( {\sqrt {4 + w} } \right)}^2}} \right] = 64.
Έτσι έχουμε την ισότητα, άρα παίρνουμε την αναλογία: \displaystyle{\frac{{\sqrt {1 - x} }}{{\sqrt {1 + x} }} = ... = \frac{{\sqrt {4 - w} }}{{\sqrt {4 + w} }} \Rightarrow \frac{{1 - x}}{{1 + x}} = ... = \frac{{4 - w}}{{4 + w}} = \frac{1}{4} \Rightarrow \left( {x = \frac{3}{5},y = \frac{6}{5},z = \frac{9}{5},w = \frac{{12}}{5}} \right).}


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες