Ανισότητα με λογάριθμο

Tolaso J Kos · #1

Ας είναι $x_1, x_2, \dots, x_n$ , $n \geq 2$ θετικοί αριθμοί διαφορετικοί του

τέτοιοι ώστε $x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2=n^3$ . Αποδείξατε ότι:

$\displaystyle{\frac{\log_{x_1}^4 x_2}{x_1+x_2}+ \frac{\log_{x_2}^4 x_3}{x_2+x_3}+ \cdots + \frac{\log_{x_n}^4 x_1}{x_n+x_1} \geq \frac{1}{2}}$

#2

Από την

$\displaystyle{n\sum x_j ^2 \geq \left(\sum x_j\right)^2}$

προκύπτει

$\displaystyle{\sum x_j \leq n^2.}$ ( $\displaystyle{\color{red}\bigstar}$ )

Από Cauchy-Schwarz και μετά ΑΜ-ΓΜ είναι

$\displaystyle{\frac{\log_{x_1}^4 x_2}{x_1+x_2}+ \frac{\log_{x_2}^4 x_3}{x_2+x_3}+ \cdots + \frac{\log_{x_n}^4 x_1}{x_n+x_1} \geq \frac{\left(\sum \left(\frac{\ln x_{j+1}}{\ln x_j}\right)^2\right)^2}{2\sum x_j}\geq}$

$\displaystyle{\geq \frac{n^2}{2\sum x_j}\stackrel{\color{red}\bigstar}{\geq } \frac{1}{2}.}$

Tolaso J Kos · #3

Ευχαριστώ Θάνο. Δίδω και τη λύση που έχω δει:

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum \frac{\log_{x_1}^4 x_2}{x_1+x_2} & \geq \frac{\left (\sum \log_{x_1}^2 x_2 \right )^2}{\sum (x_1+x_2)} \\ &= \frac{\left ( \sum \log_{x_1}^2 x_2 \right )^2}{2\sum x_1} \\ &\!\!\!\!\!\!\overset{\text{AM-GM}}{\geq } \frac{\left [ n \left (\prod \log_{x_1} x_2 \right )^{2/n} \right ]^2}{2\sum x_1} \\ &\!\!\!\!\overset{\text{C-B-S}}{\geq } \frac{n^2}{2n^2} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}}$

Ανισότητα με λογάριθμο

Ανισότητα με λογάριθμο

Re: Ανισότητα με λογάριθμο

Re: Ανισότητα με λογάριθμο

Μέλη σε σύνδεση