Μέγιστο απολύτων τιμών

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2002
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Μέγιστο απολύτων τιμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιούλ 12, 2018 9:26 am

Δίνονται οι πραγματικοί

a_{1},a_{2},...,a_{n}

όπου n\geq 2 φυσικός.

Επίσης είναι a_{1}+a_{2}+...+a_{n}> 0

και M=max(\left | a_{1} \right |,\left | a_{2} \right |,...\left | a_{n} \right |)


Να δειχθεί ότι ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς

\left | a_{1}+a_{2}+...+a_{k}-(a_{k+1}+..+a_{n}) \right |

με

1\leq k\leq n-1

και

\left | a_{1}+a_{2}+.....+a_{n} \right |

δεν ξεπερνάει τον M



Λέξεις Κλειδιά:
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 139
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Μέγιστο απολύτων τιμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Πέμ Ιούλ 12, 2018 7:24 pm

Εστω ότι δεν ισχύει το ζητούμενο.
Μπορώ να θέσω a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=1.

Θέτω K_{1}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n}=1, K_{2}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}-a_{n}=1-2a_{n},...,K_{n}=a_{1}-a_{2}-...-a_{n-1}-a_{n}=1-2a_{n}-2a_{n-1}-...-2a_{2}.

Θα χρησιμοποιήσω τη σχέση \frac{\left | x-y \right |+\left | x+y \right |}{2}=max(x,y).

Είναι \left | K_{1} \right |+\left | K_{2} \right |=1+\left | 1-2a_{n} \right |=2max(1-a_{n},a_{n}).

Αν 1-a_{n}\leq a_{n}, τότε \left | K_{1} \right |+\left | K_{2} \right |=2a_{n}\Rightarrow min(\left | K_{1} \right |,\left | K_{2} \right |)\leq a_{n}\leq M

άτοπο.

Αρα 1-a_{n}>a_{n}\Leftrightarrow 1-2a_{n}>0\Leftrightarrow K_{2}>0

Ομοια δείχνω ότι και K_{3},K_{4},...,K_{n}>0.

Αρα \left | K_{1} \right |+\left | K_{n} \right |=K_{1}+K_{n}=2a_{1}\leq 2M.

Οπότε , κάποιος από τους K_{1},K_{n} μικρότερος του M , άτοπο.

Αρα, ισχύει το ζητούμενο.

Χανω πουθενά;


Κώστας Σφακιανάκης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2002
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μέγιστο απολύτων τιμών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιούλ 12, 2018 7:57 pm

ksofsa έγραψε:
Πέμ Ιούλ 12, 2018 7:24 pm
Εστω ότι δεν ισχύει το ζητούμενο.
Μπορώ να θέσω a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=1.

Θέτω K_{1}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n}=1, K_{2}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}-a_{n}=1-2a_{n},...,K_{n}=a_{1}-a_{2}-...-a_{n-1}-a_{n}=1-2a_{n}-2a_{n-1}-...-2a_{2}.

Θα χρησιμοποιήσω τη σχέση \frac{\left | x-y \right |+\left | x+y \right |}{2}=max(x,y).

Είναι \left | K_{1} \right |+\left | K_{2} \right |=1+\left | 1-2a_{n} \right |=2max(1-a_{n},a_{n}).

Αν 1-a_{n}\leq a_{n}, τότε \left | K_{1} \right |+\left | K_{2} \right |=2a_{n}\Rightarrow min(\left | K_{1} \right |,\left | K_{2} \right |)\leq a_{n}\leq M

άτοπο.

Αρα 1-a_{n}>a_{n}\Leftrightarrow 1-2a_{n}>0\Leftrightarrow K_{2}>0

Ομοια δείχνω ότι και K_{3},K_{4},...,K_{n}>0.

Αρα \left | K_{1} \right |+\left | K_{n} \right |=K_{1}+K_{n}=2a_{1}\leq 2M.

Οπότε , κάποιος από τους K_{1},K_{n} μικρότερος του M , άτοπο.

Αρα, ισχύει το ζητούμενο.

Χανω πουθενά;
Οχι δεν χάνεις.ΜΠΡΑΒΟ ΣΟΥ.
Θα γινόταν λίγο απλούστερο αν έλεγες:
Αν κάποιο K_{i}=0 τελειώσαμε.
Αν όλα τα K_{i}=0 θετικά πάλι όπως το έκανες έχουμε ΑΤΟΠΟ.
Αν δεν ισχύουν τα παραπάνω τότε θα υπάρχει i με K_{i}>0,K_{i+1}< 0
οπότε πάλι ΑΤΟΠΟ όπως το έκανες.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης