Ρίζες πολυωνύμου

dement · #1

Το μονικό πολυώνυμο $P_n (x) \in \mathbb{C}[x]$ , βαθμού

, ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση

$P_n{''} (x) - x P_n{'} (x) + n P_n(x) = 0$

Να αποδειχθεί ότι το P_n

έχει όλες του τις ρίζες πραγματικές.

(Από φιλική ιταλική μαθηματική ομάδα).

ksofsa · #2

Καλησπέρα.

Έστω ότι το πολυώνυμο έχει και μιγαδικές ρίζες.Τότε,γράφεται στη μορφή P(x)=R(x)Q(x)

, με το

να έχει μόνο μιγαδικές ρίζες και το Q(x)

μόνο πραγματικές.

Το R(x)

γράφεται ως:

$R(x)=R_{1}(x)...R_{m}(x)$ , όπου $R_{i}(x)=(x-a_{i})^2+b_{i}^2$ ,
με $b_{i}> 0$ και επιλέγω $b_{1}=max(b_{1},...,b_{m})$ .

Έστω $z=a_{1}+b_{1}i$ .

Τότε, $R_{1}(z)=R(z)=0$ .

και η δοσμένη σχέση δίνει μετά την αντικατάσταση P(x)=R(x)Q(x)

:

$R''(z)=R'(z)(z-2\dfrac{Q'(z)}{Q(z)})$ .(*)

Έγιναν απλοποιήσεις με χρήση της R(z)=0

.

Θέτω $L(x)=R_{2}(x)...R_{m}(x)$ και είναι $R(x)=R_{1}(x)L(x)$ .

Τότε,

$R'(z)=R_{1}'(z)L(z)=2(z-a_{1})L(z)$

$R''(z)=R_{1}''(z)L(z)+2R_{1}'(z)L'(z)=2L(z)+4(z-a_{1})L'(z)$ .

Μετά τις αντικαταστάσεις και απλές πράξεις, η σχέση (*) γράφεται:

$z-\dfrac{1}{z-a_{1}}=2\dfrac{L'(z)}{L(z)}+2\dfrac{Q'(z)}{Q(z)}\Leftrightarrow a_{1}+(b_{1}+\dfrac{1}{b_{1}})i=2\dfrac{L'(z)}{L(z)}+2\dfrac{Q'(z)}{Q(z)}$

Θα δείξω ότι $Im(\dfrac{L'(z)}{L(z)})<0,Im(\dfrac{Q'(z)}{Q(z)})<0$ , πράγμα που θα οδηγεί σε άτοπο.

Για την πρώτη ανισότητα:

Είναι $\dfrac{L'(z)}{L(z)}=\dfrac{R_{2}'(z)}{R_{2}(z)}+...+\dfrac{R_{m}'(z)}{R_{m}(z)}$ .

Έχω ότι:

$\dfrac{R_{2}'(z)}{R_{2}(z)}=\dfrac{2(z-a_{2})}{(z-a_{2})^2+b_{2}^2}=\dfrac{1}{z-a_{2}+b_{2}i}+\dfrac{1}{z-a_{2}-b_{2}i}=\dfrac{1}{(a_{1}-a_{2})+(b_{1}+b_{2})i}+\dfrac{1}{(a_{1}-a_{2})+(b_{1}-b_{2})i}$ .

Όμως, $Im(\dfrac{1}{(a_{1}-a_{2})+(b_{1}+b_{2})i}),Im(\dfrac{1}{(a_{1}-a_{2})+(b_{1}-b_{2})i})<0$ ,

όπως προκύπτει μετά από πολλαπλασιασμό του παρονομαστή με το συζυγή του.

Όμοια, $Im(\dfrac{R_{3}'(z)}{R_{3}(z)})<0$ κτλ. Η ζητούμενη ανισότητα προκύπτει άμεσα.

Για τη δεύτερη ανισότητα:

Θέτω $Q(x)=(x-c_{1})...(x-c_{k})$ .

Οπότε,

$\dfrac{Q'(z)}{Q(z)}=\dfrac{1}{z-c_{1}}+...+\dfrac{1}{z-c_{k}},c_{1},...,c_{k}\epsilon R$

Είναι $Im(\dfrac{1}{z-c_{1}})=Im(\dfrac{1}{a_{1}-c_{1}+b_{1}i})<0$ (όμοιο επιχείρημα με πριν, δηλαδή άμεσο μετά από πολλαπλασιασμό του παρονομαστή με το συζυγή).

Τελικά και η δεύτερη ανισότητα άμεση, όπως θέλαμε.

Προσθήκη:

Η παραπάνω λύση ισχύει για πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές, ώστε ο συζυγής κάθε μιγαδικής ρίζας να είναι επίσης ρίζα.Αυτό δεν ισχύει για πολυώνυμα με μιγαδικούς συντελεστές. Όμως, αποδεικνύεται ανεξάρτητα ότι τα πολυώνυμα που ικανοποιούν τα δεδομένα του προβλήματος είναι πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές (βλ. το ποστ 4 ,του κυρίου Μπαλόγλου).

ksofsa · #3

Να προσθέσω ότι η διαίρεση με το L(z)

επιτρέπεται , διότι το P(x)

δεν μπορεί να έχει πολλαπλή μιγαδική ρίζα και άρα $L(z)\neq 0$ .

Ο λόγος είναι απλός.Έστω ότι έχει πολλαπλή μιγαδική ρίζα

. Τότε,

και άρα , από τη δοσμένη σχέση, P''(w)=0

.

Παραγωγίζοντας τη δοσμένη σχέση και αντικαθιστώντας παίρνουμε $P^{[4]}(w)=0$ , παραγωγίζοντας ξανά παίρνουμε $P^{[5]}(w)=0$
κ.ο.κ.

Άρα, το

έχει πολλαπλότητα

και το πολυώνυμο δεν έχει άλλη ρίζα, άτοπο, γιατί έχει τουλάχιστον μια ακόμα λύση, το συζυγή του

.

Άρα, το πολυώνυμο δεν έχει πολλαπλή μιγαδική ρίζα, όπως θέλαμε.Τώρα, αν δε μου διαφεύγει κάτι, τα βήματα της προηγούμενης δημοσίευσης είναι όλα επιτρεπτά.

#4

Καταθέτω κάποιες σκέψεις που ίσως οδηγούν σε διαφορετικής τεχνοτροπίας λύση:

H δοθείσα διαφορική εξίσωση γράφεται ως

$a_{n-1}x^{n-1}+\sum_{k=0}^{k=n-2}\left[(k+2)a_{n-k-2}+(n-k)(n-k-1)a_{n-k}\right]x^{n-k-2}=0,$

όπου από υπόθεση a_n=1

: η πολυωνυμική αυτή εξίσωση επιτρέπει τον ακριβή υπολογισμό των συντελεστών του δοθέντος πολυωνύμου ως πραγματικών αριθμών, συγκεκριμένα:

$a_{n-2k+1}=0$ , $a_{n-2k}=\dfrac{(-1)^kn!}{2^kk!(n-2k)!}$ .

Για παράδειγμα, P_2(z)=z^2-1

,

, κλπ

Έχουμε δηλαδή στην ουσία να κάνουμε με πραγματικά πολυώνυμα αρτίων δυνάμεων του

, με γνωστούς συντελεστές εναλλασσόμενου προσήμου: τα θεωρήματα τύπου Sturm, Descartes κλπ πλησιάζουν αλλά δεν φαίνεται να φτάνουν σε λύση, θα μπορούσαμε ίσως να εκμεταλλευθούμε κάποιες ταυτότητες με παραγοντικά, διωνυμικούς συντελεστές κλπ ώστε να φτάσουμε σε τιμές πολυωνύμου εναλλασσόμενου προσήμου που θα εγγυώνται την ύπαρξη 'αρκετών' πραγματικών ριζών (και άρα μόνον αυτών), αλλά προς το παρόν δεν βλέπω κάτι, ίσως κάποιος μπορεί να το τελειώσει;

dement · #5

Ευχαριστώ για τις λύσεις/προσεγγίσεις, βάζω και την δική μου λύση για πληρότητα.

Θα αποδείξουμε ότι το P_n

έχει

πραγματικές ρίζες.

Χρησιμοποιούμε επαγωγή στο

. Για

, από τη διαφορική εξίσωση προκύπτει ότι ο σταθερός όρος είναι

, οπότε

(ισχύει).

Παραγωγίζοντας τη διαφορική εξίσωση, παίρνουμε

$\left( P_n{'} \right){''} - x \left( P_n{'} \right){'} + (n-1)P_n{'} = 0$

και έτσι γνωρίζουμε από την επαγωγική υπόθεση ότι η παράγωγος $P_n{'}$ έχει n-1

πραγματικές ρίζες. Για κάθε μία από αυτές ισχύει $P_n{''}(x) = -n P_n(x)$ . Αφού το πρόσημο της $P_n{''}$ εναλλάσσεται μεταξύ των ριζών της $P_n{'}$ , το ίδιο ισχύει και για το πρόσημο της P_n

. Έτσι, λόγω συνέχειας, θα έχουμε n-2

πραγματικές ρίζες μεταξύ των ριζών της παραγώγου.

Επιπλέον, μετά την μέγιστη ρίζα της $P_n{'}$ , η $P_n{''}$ διατηρεί πρόσημο αλλά, για αρκετά μεγάλα

, πρέπει να έχει το ίδιο πρόσημο με την P_n

. Άρα θα υπάρχει ακόμα μία ρίζα της P_n

, μεγαλύτερη από όλες τις ρίζες της παραγώγου. Ομοίως θα υπάρχει ακόμα μία μικρότερη από όλες.

Οπότε, το P_n

έχει

το πλήθος πραγματικές ρίζες.

Ρίζες πολυωνύμου

Ρίζες πολυωνύμου

Re: Ρίζες πολυωνύμου

Re: Ρίζες πολυωνύμου

Re: Ρίζες πολυωνύμου

Re: Ρίζες πολυωνύμου

Μέλη σε σύνδεση