Σύγκριση αριθμών

#1

Να συγκριθούν οι αριθμοί

300!

και $100^{300}$

Πρόκειται για μία άσκηση που μου είχε κοινοποιήσει πριν από 6 περίπου χρόνια ο συνάδελφος Πρόδρομος Ελευθερίου από τη Μυτιλήνη και την οποία θυμήθηκα με αφορμή μία άλλη παρόμοια άσκηση.

Αλέξανδρος

#2

Καλησπέρα Αλέξανδρε!

Το πρόβλημα ουσιαστικά είναι στην προσέγγιση του Stirling. https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling's_approximation
Θα κάνω τον εύκολο υπολογισμό, που για το πρόβλημά μας είναι υπερ-αρκετός.

Έχουμε $\displaystyle\ln (n!)=\sum_{i=1}^k \ln k\geq\int_{1}^n \ln x\, dx=\ln\frac{n^n}{e^{n-1}}$

Οπότε στην περίπτωσή μας παίρνουμε $\displaystyle 300!\geq\frac{300^{300}}{e^{299}}=e\left(\frac{300}{e}\right)^{300}>e\cdot 100^{300}$

#3

Ωραία Σιλουανέ! Ακριβώς αυτή ήταν η απάντηση που είχα δώσει τότε στην άσκηση για να μη χρησιμοποιήσω πιο βαριά εργαλεία (Stirling κτλ).

Ευχαριστώ πολύ για την ενασχόληση!

Αλέξανδρος

Ιωάννης Αλωνιστιωτης · #4

Καλησπέρα ,

Έσβησα την λύση μου καθώς υπήρχε ενα προβληματικό σημείο , καθώς ξέχασα ένα παρονομαστή

στο σημείο που επισήμανε ο κ.Λάμπρου τον οποίο ευχαριστώ θερμά!

Ευχαριστώ πολύ,
Ιωάννης

#5

Χμμμμ. Για ξαναδές το βήμα

Ιωάννης Αλωνιστιωτης έγραψε: $\frac{(100-99)(100-98)\cdot ...\cdot (100-1)100}{100^{100}}\cdot \frac{(100+1)(100+2)\cdot ...\cdot (100+99)200}{100^{100}}$
$2\cdot \frac{100^{2}-99^{2}}{100}\cdot \frac{100^{2}-98^{2}}{100}\cdot ...\cdot \frac{100^{2}-2^{2}}{100}\cdot \frac{100^{2}-1}{100}=B$

perception · #6

Καλησπέρα σας,
μια λύση θα ήθελα να προτείνω(αν είναι σωστή φυσικά).

Ισχύει η ανισοτική σχέση

$n!> (\frac{n}{2})^{\frac{n}{2}}$

Συνεπώς: $300! \geq 150^{150} > 100^{150} = (10^{2})^{150} = 10^{300}$

#7

perception έγραψε:Καλησπέρα σας,
μια λύση θα ήθελα να προτείνω(αν είναι σωστή φυσικά).

Ισχύει η ανισοτική σχέση

$n!> (\frac{n}{2})^{\frac{n}{2}}$

Συνεπώς: $300! \geq 150^{150} > 100^{150} = (10^{2})^{150} = 10^{300}$

Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Πολλά δεν πάνε καλά με την παραπάνω απόδειξη. Για παράδειγμα δείχνει μία ανισότητα της μορφής

$(\kappa \alpha \tau \iota) >10^{300}$ ενώ το ζητούμενο είναι πολύ μεγαλύτερο:

$(\kappa \alpha \tau \iota) >100^{300}$

#8

perception έγραψε: $300! \geq 150^{150}$

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πολλά δεν πάνε καλά με την παραπάνω απόδειξη. Για παράδειγμα δείχνει μία

Μάλιστα ισχύει $150^{150}<100^{300}$ άρα αυτός ο τρόπος αποτυγχάνει για την απόδειξη της ζητούμενες.

Αλέξανδρος

#9

Ο Σιλουανός απέδειξε το ισχυρότερο

$\displaystyle{n!>e\left(\frac{n}{e}\right)^n}$

αλλά με ισχυρότερα εργαλεία.

Μπορούμε να αποδείξουμε στοιχειωδώς το αρχικό ζητούμενο, αποδεικνύοντας επαγωγικά ότι για κάθε ακέραιο $\displaystyle{n\geq 1}$ ισχύει

$\displaystyle{n!>\left(\frac{n}{3}\right)^n.}$

Για το επαγωγικό βήμα αρκεί να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{(n+1)\left(\frac{n}{3}\right)^n>\left(\frac{n+1}{3}\right)^{n+1},}$

η οποία γράφεται τελικά

$\displaystyle{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<3,}$ που ισχύει.

Σύγκριση αριθμών

Σύγκριση αριθμών

Re: Σύγκριση αριθμών

Re: Σύγκριση αριθμών

Re: Σύγκριση αριθμών

Re: Σύγκριση αριθμών

Re: Σύγκριση αριθμών

Re: Σύγκριση αριθμών

Re: Σύγκριση αριθμών

Re: Σύγκριση αριθμών

Μέλη σε σύνδεση