Συναρτησιακή εξίσωση

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(xf(y)+f(f(y)))+yf(f(x))=f((f(f(x))+1)f(y))+xy,

για κάθε $x,y \in \Bbb{R}.$

#2

Θα δείξουμε ότι f(x) = x

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ ή $f(x) = x+\frac{1}{2}$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Υποθέτω πρώτα ότι f(f(0)) = 0

. Θα δείξω ότι f(x) = x

για κάθε $x \in \mathbb{R}$

Για x=0

παίρνω

για κάθε $y \in \mathbb{R}$ . Υποθέτω προς άτοπο ότι υπάρχει $a \in \mathbb{R}$ με $f(a) \neq a$ , έστω f(a) = b

. Τότε

.

Αν

, τότε για x=a,y=b

παίρνω

ενώ για

παίρνω

. Αφαιρώντας τις δύο σχέσεις παίρνω b^2-ab = ab-a^2

που καταλήγει στο a=b

, άτοπο.

Αν $f(b) = c \neq b$ τότε f(c) = f(f(b)) = f(f(f(a))) = f(f(a)) = f(b) = c

. Με παρόμοιο τρόπο όπως στην προηγούμενη παράγραφο καταλήγω σε άτοπο. (Παίρνω τις σχέσεις για x=b,y=c

και μετά για x=y=c

.)

Άρα σε αυτήν την περίπτωση έχω f(x) = x

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Μπορώ λοιπόν να υποθέσω ότι $f(f(0)) \neq 0$ . Σε αυτήν την περίπτωση έχουμε και $f(0) \neq 0$ . Θα δείξω ότι $f(x) = x+\frac{1}{2}$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$

Για x=0

παίρνω

$\displaystyle f(f(f(y))) + yf(f(0)) = f((f(f(0)+1)f(y))$

για κάθε $y \in \mathbb{R}$ . Αυτό δίνει ότι η

είναι 1-1 αφού αν f(y_1) = f(y_2)

εύκολα καταλήγω σε y_1f(f(0)) = y_2f(f(0))

που δίνει

.

Για

στην αρχική τώρα, και χρησιμοποιώντας ότι η

είναι 1-1 παίρνω $\displaystyle xf(0) + f(f(0)) = (f(f(x)) + 1)f(0)$ που δίνει

$\displaystyle f(f(x)) = x-1 + \frac{f(f(0))}{f(0)} \qquad (1)$

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Από την (1) παίρνω ότι η

είναι επί. Επίσης για x = 0

παίρνω

$\displaystyle f(f(0)) = \frac{f(0)}{1-f(0)}$

Θέτοντας $\displaystyle a = f(f(0))$ η (1) γίνεται

$\displaystyle f(f(x)) = x+a \qquad (2)$

Αντικαθιστώντας στην αρχική παίρνουμε

$\displaystyle f(xf(y) + y+a) + ay = f((x+1+a)f(y)) \qquad (3)$

για κάθε $x,y\in \mathbb{R}$ .

Από την (2) έχουμε επίσης

$\displaystyle f(x)+a = f(f(f(x))) = f(x+a) \qquad (4)$

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Αφού η

είναι επί, μπορώ να πάρω

ώστε

. Για

στην (3) παίρνουμε f(b+a) + ab = f(0)

. Όμως από την (4) είναι f(b+a) = f(b)+a = a

. Άρα

$\displaystyle f(0) = a(1+b) = f(f(0))(1+b) = \frac{f(0)(1+b)}{1-f(0)}$

το οποίο δίνει b = -f(0)

. Τότε όμως έχουμε

$\displaystyle -f(0) + a = f(f(-f(0))) = f(f(b)) = f(0)$

Άρα

$\displaystyle \frac{f(0)}{1-f(0)} = a = 2f(0)$

που δίνει $f(0) = \frac{1}{2}$ και a = 1

.

Για

στην (3) παίρνουμε

$\displaystyle f(-f(y)+y+1) = f(f(y))-y = 1 = f(1/2)$

Αφού η

είναι 1-1 καταλήγουμε στο f(y) = y+1/2

για κάθε $y \in \mathbb{R}$ .

#3

https://artofproblemsolving.com/communi ... _long_r_fe

Συναρτησιακή εξίσωση

Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση