Εξίσωση και σημείο

#1

Να δείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle {x^3} - 27x - 62 = 0$ έχει μοναδική πραγματική ρίζα.

Εξετάστε αν η ρίζα αυτή είναι η $\displaystyle x = \sqrt[3]{{31 + 2\sqrt {58} }} + \sqrt[3]{{31 - 2\sqrt {58} }}$

Δίνονται τα σημεία A(2,0), B(3,0).

: Εξίσωση και σημείο.png (9.28 KiB) Προβλήθηκε 1217 φορές

Θεωρούμε σημείο

του ημιάξονα OY,

τέτοιο ώστε $M\widehat BA=3B\widehat MA.$ Να υπολογίσετε το μήκος του OM.

(Απαγορεύεται η χρήση λογισμικού).

Η άσκηση μπήκε σε αυτό το φάκελο, ελλείψει ενός φακέλου Γενικά-Επίπεδο Αρχιμήδη Seniors

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 16, 2019 8:06 pm
Να δείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle {x^3} - 27x + 62 = 0$ έχει μοναδική πραγματική ρίζα.

Εξετάστε αν η ρίζα αυτή είναι η $\displaystyle x = \sqrt[3]{{31 + 2\sqrt {58} }} + \sqrt[3]{{31 - 2\sqrt {58} }}$

Δίνονται τα σημεία Εξίσωση και σημείο.png
Θεωρούμε σημείο του ημιάξονα τέτοιο ώστε $M\widehat BA=3B\widehat MA.$ Να υπολογίσετε το μήκος του (Απαγορεύεται η χρήση λογισμικού).

Η άσκηση μπήκε σε αυτό το φάκελο, ελλείψει ενός φακέλου Γενικά-Επίπεδο Αρχιμήδη Seniors

Για το Α.
α)Θέτουμε
$\displaystyle f(x)= {x^3} - 27x + 62$
Είναι
$\displaystyle \frac{f(x)-f(3)}{x-3}=x^{2}+3x-18,x\neq 3$

Eτσι για x>3

και

είναι

Αρα η εξίσωση δεν έχει μη αρνητική ρίζα.

Αν είχε τρείς πραγματικές ρίζες θα είχαμε άτοπο από την

$r_{1}r_{2}+r_{3}r_{2}+r_{1}r_{3}=-27$

Αφού είναι πολυώνυμο τρίτου βαθμού έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα.

Αρα έχει ακριβώς μια ρίζα η οποία είναι αρνητική.

b.Προφανώς δεν είναι ρίζα αφού είναι θετικός αριθμός.
(Γιώργο μάλλον θα έχεις τυπογραφικό)

Σημείωση.Το α) θα μπορούσε να προκύψει και ως εξής.
Είναι $f'(x)=3x^{2}-27=3(x-3)(x+3)$
Αφού f(3)f(-3)> 0

η

εχει ακριβώς μια πραγματική ρίζα.
(γιατί ; )

#3

Α

Έχω : ${x^3} - 27x - 62 = 0\,\,\,(1)$ θέτω : $\boxed{x = y + \frac{9}{y}}\,\,\,\left( {{M_1}} \right)$ και προκύπτει:

${y^6} - 62{y^3} + 729 = 0\,\,(2)$ που είναι δευτέρου βαθμού ως προς $\boxed{t = {y^3}}\left( {{M_2}} \right)$

και βρίσκω: $\left\{ \begin{gathered} t = 31 - 2\sqrt {58} \hfill \\ t = 31 + 2\sqrt {58} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Λόγω του μετασχηματισμού $\left( {{M_2}} \right)$ προκύπτει :

${y^3} = 31 - 2\sqrt {58} > 0$ ή ${y^3} = 31 + 2\sqrt {58} > 0$ (διώνυμες) και έχω από μια

Θετική πραγματική ρίζα

Που όμως λόγω του μετασχηματισμού $\left( {{M_1}} \right)$ έχω :

μια μόνο θετική πραγματική ρίζα την: $x = \sqrt[3]{{31 - 2\sqrt {58} }} + \sqrt[3]{{31 + 2\sqrt {58} }}$

Παρατήρηση :

Είναι γνωστό ότι αν η () είχε αρνητική διακρίνουσα η αρχική θα είχε 3 πραγματικές που βρίσκονται με τη βοήθεια μιγαδικών.

Ενώ όπως στη συγκεκριμένη περίπτωση που η διακρίνουσα της () είναι θετική έχουμε μια μόνο πραγματική και δύο συζυγείς μιγαδικές

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Δεν κατάλαβα πώς το + έγινε - χωρίς να φαίνεται η διόρθωση.
Ετσι όπως είναι φαίνεται ότι δεν ξέρω τι μου γίνεται και αλλάζω σκόπιμα τις εκφωνήσεις.

#5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 16, 2019 10:18 pm
Δεν κατάλαβα πώς το + έγινε - χωρίς να φαίνεται η διόρθωση.
Ετσι όπως είναι φαίνεται ότι δεν ξέρω τι μου γίνεται και αλλάζω σκόπιμα τις εκφωνήσεις.

Σταύρο, μια χαρά ξέρεις τι σου γίνεται. Ο Νίκος με ενημέρωσε για το τυπογραφικό και προφανώς το διόρθωσα την ώρα που εσύ πληκτρολογούσες, γιατί όταν τελείωσα με τη διόρθωση, δεν είχε ακόμα ανέβει η ανάρτησή σου. Έτσι φαντάστηκα ότι δεν το είχε προσέξει κάποιος άλλος εκτός απ' τον Νίκο. Ζητώ συγνώμη απ' όλους όσους ταλαιπώρησα

#6

Από σύμπτωση η f(x)=x^3-27x+62

και η

συνδέονται ως g(-x)=-f(x)

(ισοδύναμα g(x)=-f(-x)

), οπότε ό,τι κάνεις για την μια περνάει αυτόματα ως ιδιότητα στην άλλη.

#7

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 16, 2019 8:06 pm
Να δείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle {x^3} - 27x - 62 = 0$ έχει μοναδική πραγματική ρίζα.

Εξετάστε αν η ρίζα αυτή είναι η $\displaystyle x = \sqrt[3]{{31 + 2\sqrt {58} }} + \sqrt[3]{{31 - 2\sqrt {58} }}$

Δίνονται τα σημεία Εξίσωση και σημείο.png
Θεωρούμε σημείο του ημιάξονα τέτοιο ώστε $M\widehat BA=3B\widehat MA.$ Να υπολογίσετε το μήκος του (Απαγορεύεται η χρήση λογισμικού).

Η άσκηση μπήκε σε αυτό το φάκελο, ελλείψει ενός φακέλου Γενικά-Επίπεδο Αρχιμήδη Seniors

A

Έχω : ${x^3} - 27x - 62 = 0\,\,\,(1)$ θέτω : $\boxed{x = y + \frac{9}{y}}\,\,\,\left( {{M_1}} \right)$ και προκύπτει:

${y^6} - 62{y^3} + 729 = 0\,\,(2)$ που είναι δευτέρου βαθμού ως προς $\boxed{t = {y^3}}\left( {{M_2}} \right)$

και βρίσκω: $\left\{ \begin{gathered} t = 31 - 2\sqrt {58} \hfill \\ t = 31 + 2\sqrt {58} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Λόγω του μετασχηματισμού $\left( {{M_2}} \right)$ προκύπτει :

${y^3} = 31 - 2\sqrt {58} > 0$ ή ${y^3} = 31 + 2\sqrt {58} > 0$ (διώνυμες) και έχω από μια

Θετική πραγματική ρίζα

Που όμως λόγω του μετασχηματισμού $\left( {{M_1}} \right)$ έχω :

μια μόνο θετική πραγματική ρίζα την: $x = \sqrt[3]{{31 - 2\sqrt {58} }} + \sqrt[3]{{31 + 2\sqrt {58} }}$

B
Θέτω: OM = m

.

Επειδή $\left\{ \begin{gathered} 3\theta = 4\theta - \theta \Rightarrow \tan 3\theta = \frac{{\tan 4\theta - \tan \theta }}{{1 + \tan 4\theta \tan \theta }} \hfill \\ \tan 3\theta = \frac{m}{3} \hfill \\ \tan 4\theta = \frac{m}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Άρα : $\boxed{\tan \theta = \frac{m}{{{m^2} + 6}}}$

Αλλά $\tan 3\theta = \dfrac{{\tan \theta (3 - {{\tan }^2}\theta )}}{{1 - 3{{\tan }^2}\theta }}$ οπότε καταλήγω στην εξίσωση :

: Εξίσωση και σημείο_ok.png (12.64 KiB) Προβλήθηκε 1051 φορές

$\left\{ \begin{gathered} {m^2} = t \hfill \\ {t^3} + 6{t^2} - 15t - 108 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Κάνω το μετασχηματισμό $\boxed{t = x - 2}$ και προκύπτει : $\boxed{{x^3} - 27x - 62 = 0}$

Αλλά η ρίζα της πιο πάνω εξίσωσης είναι γνωστή, ας την πούμε : $\boxed{r = {x_0}}$

( έχει υπολογιστεί πιο πάνω αλλά έχει δοθεί και στην εκφώνηση )

Συνεπώς βρίσκουμε διαδοχικά : $t,{m^2}$ άρα και το $m = \sqrt {r - 2} \approx 2,024025018$

Εξίσωση και σημείο

Εξίσωση και σημείο

Re: Εξίσωση και σημείο

Re: Εξίσωση και σημείο

Re: Εξίσωση και σημείο

Re: Εξίσωση και σημείο

Re: Εξίσωση και σημείο

Re: Εξίσωση και σημείο

Μέλη σε σύνδεση