Αλλαγή Ν(Ω)

Atlas · #1

Δίνονται:
$\displaystyle{{\rm N}(\Omega ) = 40}$ ,
$\displaystyle{{\rm A},{\rm B} \subseteq \Omega }$ ,
$\displaystyle{{\rm P}\left[ {({\rm A} - {\rm B})'} \right] = \frac{3}{5}\mathop {}\limits_{}^{} ,\mathop {}\limits_{}^{} {\rm P}({\rm A} \cup {\rm B}') = \frac{3}{4}}$
Αν προσθέσουμε $\displaystyle{20}$ , επιπλέον στοιχεία στο $\displaystyle{\mathop {}\limits_{}^{} \mathop {}\limits_{}^{} \Omega \mathop {}\limits_{}^{} \mathop {}\limits_{}^{} }$
αλλά τα σύνολα $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ παραμείνουν ίδια , και τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα
και στις δύο περιπτώσεις , να βρείτε πως διαμορφώνονται οι παραπάνω πιθανότητες.

Γιώργος Απόκης · #2

Καλημέρα.

Έχουμε $\displaystyle{P((A-B)')=1-P(A-B)=1-(P(A)-P(A\cap B))=1-P(A)+P(A\cap B)}$

και $\displaystyle{P(A\cup B')=P(A)+P(B')-P(A\cap B')=P(A)+1-P(B)-(P(A)-P(A\cap B))=1-P(B)+P(A\cap B)}$

Από τις δεδομένες ισότητες (για τον δειγματικό χώρο με $\displaystyle{40}$ στοιχεία) έχουμε:

$\displaystyle{1-\frac{N(A)}{40}+\frac{N(A\cap B)}{40}=\frac{3}{5}\Leftrightarrow \frac{N(A)}{40}-\frac{N(A\cap B)}{40}=\frac{2}{5}\Leftrightarrow N(A)-N(A\cap B)=16~(1) }$

$\displaystyle{1-\frac{N(B)}{40}+\frac{N(A\cap B)}{40}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow \frac{N(B)}{40}-\frac{N(A\cap B)}{40}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow N(B)-N(A\cap B)=10~(2) }$

Για τον δειγματικό χώρο με τα $\displaystyle{60}$ στοιχεία έχουμε :

$\displaystyle{P((A-B)')=1-P(A)+P(A\cap B)=1-\frac{N(A)}{60}+\frac{N(A\cap B)}{60}=1-\frac{N(A)-N(A\cap B)}{60}\overset{(1)}=1-\frac{16}{60}=\frac{44}{60}=\frac{11}{15}}$

$\displaystyle{P(A\cup B')=1-P(B)+P(A\cap B)=1-\frac{N(B)}{60}+\frac{N(A\cap B)}{60}=1-\frac{N(B)-N(A\cap B)}{60}\overset{(2)}=1-\frac{10}{60}=\frac{50}{60}=\frac{5}{6}}$

Αλλαγή Ν(Ω)

Αλλαγή Ν(Ω)

Re: Αλλαγή Ν(Ω)

Μέλη σε σύνδεση