Classic

erxmer · #1

Έστω $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει :

$f\left( {10 - x} \right) = f\left( x \right)\,\,\,,\forall x \in \mathbb{R}$

Α. Να δείξετε ότι η

δεν είναι γνήσια μονότονη.

Β. Να δείξετε ότι $\displaystyle{{\lim_{h \to 0} \frac{{f\left( {5 + h} \right) - f\left( 5 \right)}}{h} = 0}$

Γ. Δίνεται η μεταβλητή

με τιμές

σε δείγμα μεγέθους

.

Αν ισχύει ${v_i} = f\left( {{x_i}} \right)$ για κάθε $i \in \left{ {1,2,3,4} \right}$ , τότε να δείξετε ότι :

1.

είναι άρτιος

2. Το ποσοστό των παρατηρήσεων με τιμή μεγαλύτερη ή ίση του

είναι

Γιώργος Απόκης · #2

Kαλημέρα.

Α. Για $\displaystyle{x=0}$ στη δοσμένη έχουμε $\displaystyle{f(10)=f(0)}$ , δηλαδή $\displaystyle{0<10}$ αλλά $\displaystyle{f(0)=f(10)}$ .

Επομένως η συνάρτηση δεν είναι γνησίως μονότονη

Β. Παραγωγίζοντας τα μέλη της δοσμένης :

$\displaystyle{f'(10-x)(10-x)'=f'(x)\Leftrightarrow -f'(10-x)=f'(x)}$ . Για $\displaystyle{x=5}$ προκύπτει

$\displaystyle{-f'(5)=f'(5)\Leftrightarrow 2f'(5)=0\Leftrightarrow f'(5)=0\Leftrightarrow \lim_{h\to 0}\frac{f(5+h)-f(5)}{h}=0}$

Γ.1.Έχουμε $\displaystyle{n=f(2)+f(4)+f(6)+f(8)=f(2)+f(4)+f(10-4)+f(10-2)=f(2)+f(4)+f(4)+f(2)=}$

$\displaystyle{2f(2)+2f(4)=2v_2+2v_4=2(v_2+v_4)}$ ο οποίος είναι άρτιος

Γ.2. Το ζητούμενο ποσοστό είναι το

$\displaystyle{f_3\%+f_4\%=100(f_3+f_4)=100\left(\frac{v_3}{n}+\frac{v_4}{n}\right)=\frac{100}{n}(f(6)+f(8))=\frac{100}{n}(f(4)+f(2))=}$

$\displaystyle{\frac{100}{n}(v_2+v_1)=f_2\%+f_1\%}$ και αφού $\displaystyle{f_1\%+f_2\%+f_3\%+f_4\%=100}$ έχουμε ότι $\displaystyle{f_3\%+f_4\%=50}$

Classic

Classic

Re: Classic

Μέλη σε σύνδεση