Νταμπλ σκορ

KARKAR · #1

: Νταμπλ σκορ.png (5.92 KiB) Προβλήθηκε 162 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, η κάθετη πλευρά

και η υποτείνουσα

, έχουν σταθερό άθροισμα

.

Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου . Αν δεν χρησιμοποιήσετε παράγωγο το σκορ σας διπλασιάζεται !

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 31, 2026 8:11 am
Νταμπλ σκορ.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , η κάθετη πλευρά και η υποτείνουσα , έχουν σταθερό άθροισμα .

Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου . Αν δεν χρησιμοποιήσετε παράγωγο το σκορ σας διπλασιάζεται !

Η υπόθεση γράφεται $s=b+a=b+\sqrt {b^2+c^2}$ . Υψώνοντας στο τετράγωνο έπεται c^2= s^2-2bs

.

Άρα από ΑΜ-ΓΜ

$E = \dfrac {1}{2} bc=\dfrac {1}{2} b \sqrt {s^2-2bs} = \dfrac {1}{2s} \sqrt {(bs)(bs)(s^2-2bs)}\le$

$\le \dfrac {1}{2s} \sqrt {\left ( \dfrac { bs+ bs +(s^2-2bs)}{3}\right )^3} =\dfrac {1}{2s} \sqrt {\left ( \dfrac { s^2}{3}\right )^3} =\boxed { \dfrac {s^2\sqrt 3}{18}}$

με ισότητα όταν $b = \dfrac {s}{3}, \, c = \dfrac {s\sqrt 3}{3}, \, a= \dfrac {2s}{3}$

#3

Kαλημέρα σε όλους. Κάπως διαφορετικά:

: 31-01-2026 Γεωμετρία.jpg (20.33 KiB) Προβλήθηκε 132 φορές

Φέρνω τη διάμεσο

. Τότε η περίμετρος του ACM

είναι σταθερή a+b=k

.

Έχει μέγιστο εμβαδόν όταν γίνει ισόπλευρο. Άρα και το ABC

έχει μέγιστο εμβαδόν όταν $\displaystyle \widehat C = 60^\circ$ .

Τότε $\displaystyle b = \frac{a}{2},\;\;c = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ , άρα $\displaystyle {E_{\max }} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8} = \frac{{{k^2}\sqrt 3 }}{{18}}$ .

Νταμπλ σκορ

Νταμπλ σκορ

Re: Νταμπλ σκορ

Re: Νταμπλ σκορ

Μέλη σε σύνδεση