Κινούμενο και μεταβλητού μήκους

KARKAR · #1

: Κινούμενο και μεταβλητού μήκους.png (12.26 KiB) Προβλήθηκε 171 φορές

Από τον βόρειο πόλο

του κύκλου : x^2+(y-5)^2=9

, διέρχεται ευθεία , η οποία ξανατέμνει

τον κύκλο στο σημείο

και τον άξονα x'x

στο σημείο

. Η ημιευθεία

(

o ο νότιος πόλος )

τέμνει τον x'x

στο σημείο

. Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 07, 2026 2:44 pm
Κινούμενο και μεταβλητού μήκους.pngΑπό τον βόρειο πόλο του κύκλου : , διέρχεται ευθεία , η οποία ξανατέμνει

τον κύκλο στο σημείο και τον άξονα στο σημείο . Η ημιευθεία ( o ο νότιος πόλος )

τέμνει τον στο σημείο . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος .

.

: Κινούμενο.png (26 KiB) Προβλήθηκε 157 φορές

.
Ας το δούμε γενικότερα. Εδώ $N(0,8), \, S(0,2)$ , οπότε $NS=2R=6, \, ON=h=8$ . Θα το κάνουμε για γενικό h>2R

στην θέση των $h=8, \, 2R=6$ .

Θέτουμε NB=p

ως την μεταβλητή μας και εκφράζουμε το

συναρτήσει του

και σταθερών.

Από το εγγράψιμο AOPN

(δύο γωνίες ορθές) και την δύναμη του σημείου

, έχουμε $AB \cdot OB= BN\cdot BP=p(p-NP)= p^2-p\cdot NP$ .

Αλλά από το εγγράψιμο OBPS

, η δύναμη του

δίνει $p\cdot NP= NS\cdot NO=2Rh$ . Άρα από την (*)

έχουμε

$AB= \dfrac {p^2-p\cdot NP}{OB}$ , οπότε $\boxed {AB= \dfrac {p^2-2Rh}{\sqrt {p^2-h^2}}}$

Η παράδωγος ως προς

ισούται $\dfrac {p^2-2h(h-R)}{(p^2-h^2)^{3/2}}$ . Συνεπώς έχουμε μέγιστο όταν $p=\sqrt {2h(h-R)$ . Από εκεί η τιμή του μεγίστου είναι

$\boxed {AB_{max}=2\sqrt {h(h-2R) }}$

Για τα παραπάνω νούμερα είναι $AB_{max}=8$

#3

Γενίκευση: Οι πλευρές τριγώνου μεταβάλλονται έτσι ώστε η κορυφή το ορθόκεντρο

και το ίχνος του ύψους να είναι σταθερά σημεία. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της πλευράς

: Κινούμενο και μεταβλητό.png (12.35 KiB) Προβλήθηκε 124 φορές

Έστω

Η

τέμνει τον περίκυκλο στο

και ως γνωστόν DH'=DH=k.

$\displaystyle BD \cdot DC = AD \cdot DH' = hk$ σταθερό, άρα το άθροισμα BD+DC=a

ελαχιστοποιείται όταν

$BD=DC=\dfrac{a}{2}.$ Τότε όμως a^2=4hk.

Επομένως έχουμε ελάχιστη τιμή $\boxed{a_{min}=2\sqrt{hk}}$ όταν το

τρίγωνο είναι ισοσκελές, AB=AC.

Κινούμενο και μεταβλητού μήκους

Κινούμενο και μεταβλητού μήκους

Re: Κινούμενο και μεταβλητού μήκους

Re: Κινούμενο και μεταβλητού μήκους

Μέλη σε σύνδεση