Όμορφος τόπος

KARKAR · #1

: Όμορφος τόπος.png (12.92 KiB) Προβλήθηκε 268 φορές

Το σημείο

είναι σταθερό , ενώ το

κινείται στον ημιάξονα

. Ονομάζω

την προβολή

του μέσου

του τμήματος

, στην

. α) Υπολογίστε το : SB^2-SA^2

.

β) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του

. Αν νιώσετε την ανάγκη , σχολιάστε

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 20, 2025 1:36 pm
Όμορφος τόπος.pngΤο σημείο είναι σταθερό , ενώ το κινείται στον ημιάξονα . Ονομάζω την προβολή

του μέσου του τμήματος , στην . α) Υπολογίστε το : .

β) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του . Αν νιώσετε την ανάγκη , σχολιάστε

.
α) Από το εγγράψιμο OBSM

η δύναμη του σημείου

δίνει $SA\cdot AB = \dfrac {a^2}{2}$ (1). Άρα

$SB^2-SA^2 =(AB-SA)^2-SA^2 = AB^2- 2SA\cdot AB = ^{(1)} (a^2+OB^2)- a^2=OB^2=16$

β) To

βρίσκεται στις ευθείες AB, MS

άρα ικανοποιεί τις εξισώσεις τους, που είναι $y= -\dfrac {4}{a}(x-a), \, y= \dfrac {a}{4}\left (x- \dfrac {a}{2} \right)$ .

Από την πρώτη έχουμε $a= \dfrac {4x}{4-y}$ . Βάζοντάς την στην δεύτερη θα βρούμε μετά τις πράξεις

$\boxed {x^2= \dfrac {y(4-y)^2}{2-y}}$ (μπορούμε να πάρουμε τετραγωνική ρίζα, αλλά δεν αλλάζει τίποτα).

Έχει οριζόντια ασύμπτωτο την y=2

, και η συνάρτηση βρίσκεται εξ ολοκλήρου από κάτω της ( y<2

αφού

)

KARKAR · #3

: versiera.png (29.22 KiB) Προβλήθηκε 225 φορές

Οι συντεταγμένες του

είναι : $(x,y)=(\dfrac{a^3+8a}{a^2+4} , \dfrac{2a^2}{a^2+4})$ . Αυτή είναι παραμετρική έκφραση

του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου . Η επόμενη σκέψη είναι μην τυχόν καταφέρουμε να απαλείψουμε

την παράμετρο

και (ιδανικά) να λύσουμε ως προς

. Το λογισμικό εδώ τα καταφέρνει , αλλά για

τον άνθρωπο αυτό είναι εμπόδιο ανυπέρβλητο . Ο Μιχάλης πάντως κάνει ένα βήμα παραπέρα (

)

Η μπλε καμπύλη είναι η γνωστή μας versiera . Η πράσινη είναι η συμμετρική της ως προς την ευθεία y=2

.

Παρατηρήστε πόσο μοιάζει με την δική μας κόκκινη

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 20, 2025 9:41 pm
versiera.png
Οι συντεταγμένες του είναι : $(x,y)=(\dfrac{a^3+8a}{a^2+4} , \dfrac{2a^2}{a^2+4})$ . Αυτή είναι παραμετρική έκφραση

του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου .

Θανάση, είναι ακριβώς όπως τα λες: Στην αρχή έλυσα τις εξισώσεις των ευθειών και βρήκα τα παραπάνω x,y

, οπότε το ερώτημα ήταν πώς θα διώξουμε το

. Επειδή το

έχει περιττές δυνάμεις του

ενώ το

μόνο άρτιες, οι πράξεις που έκανα άρχισαν να γίνονται κάπως μεγάλες, οπότε αντιλήφθηκα ότι πρέπει να κάνω κάτι άλλο. Και από κει σκέφθηκα να πάω ανάποδα, δηλαδή να βρω το

συναρτήσει του

.

Το τέχνασμα αυτό το είχα ξανακάνει σε μία άσκηση εδώ (αλλά δεν την βρίσκω), που τα πράγματα ήταν χειρότερα: Έβγαινε με δύο μεταβλητές $x=f(a,b), \, y=g(a,b)$ όπου οι a,b

ικανοποιούσαν μία σχέση, ας πούμε F(a,b)=0

. O στόχος ήταν να βρούμε σχέση μεταξύ των x,y

χωρίς τα

. Τελικά πήγα ανάποδα βρίσκοντας $a=p(x,y), \, b=q(x,y)$ , οπότε ισχύει F(p(x,y), q(x,y))=0

, που δεν έχει a,b

.

Όμορφος τόπος

Όμορφος τόπος

Re: Όμορφος τόπος

Re: Όμορφος τόπος

Re: Όμορφος τόπος

Μέλη σε σύνδεση